如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆交A

如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙Ｏ于G。

求证：＝

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（1）已知平面内有 $4$ 条直线 $a, b, c$ 和 $d$ .直线 $a, b$ 和 $c$ 相交于一点，直线 $b, c$ 和 $d$ 也相交于一点，试确定这 $4$ 条直线共有多少个交点?并说明你的理由.

（2）作第 $5$ 条直线 $e$ 与（1）中的直线 $d$ 平行，说明以这 $5$ 条直线的交点为端点的线段有多少条?

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如图，已知 $∠ EFC + ∠ BDC = 180 °$ ， $∠ DEF = ∠ B$ ，求证： $∠ EDC = ∠ BCD$ .

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如图，已知 $AB / / CD, ∠ BAF = \frac{1}{4} ∠ BAE, ∠ DCF = \frac{1}{2} ∠ DCE$ ， $∠ EAF = ∠ DCF$ ，且 $∠ AEC + ∠ AFC = 140 °$ ，则 $∠ AEC$ 的度数是多少?

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如图， $∠ GEF$ 和 $∠ DFE$ 的角平分线相交于点 $H$ ， $AB ∥ CD$ ， $∠ B = ∠ D$ .求证： $EH ⊥ HF$ .

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如图，已知直线 $BC / / OA, ∠ C = ∠ OAB = 100^{\circ}, E, F$ 在 $CB$ 上，且满足 $∠ FOB = ∠ AOB, OE$ 平分 $∠ COF$ .

（1）求 $∠ EOB$ 的度数；

（2）若平行移动 $AB$ ，那么 $∠ OBC : ∠ OFC$ 的值是否随之发生变化?若变化，找出规律；若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动 $AB$ 的过程中，是否存在某种情况，使 $∠ OEC = ∠ OBA$ ?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.

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