已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点.（1）求抛物线的标准

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线与直线交于、两点，求证：.

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设函数 $f (x) = \ln (1 + x), g (x) = x f ` (x), x \geq 0$ ，其中 $f ` (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数.
$g_{1} (x) = g (x), g_{n + 1} (x) = g (g_{n} (x)), n \in N_{+}$ ，
(1)求 $g_{n} (x)$ 的表达式；
(2)若 $f (x) \geq a g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
(3)设 $n \in N_{+}$ ，比较 $g (1) + g (2) + \dots + g (n)$ 与 $n - f (n)$ 的大小，并加以证明.

题型：未知
难度：未知

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如图，曲线 $C$ 由上半椭圆 $C_{1} : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0, y \geq 0)$ 和部分抛物线 $C_{2} : y = - x^{2} + 1 (y \leq 0)$ 连接而成， $C_{1}, C_{2}$ 的公共点为 $A, B$ ，其中 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

（1）求 $a, b$ 的值；
（2）过点 $B$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 分别交于 $P, Q$ （均异于点 $A, B$ ），若 $A P ⊥ A Q$ ，求直线 $l$ 的方程.

题型：未知
难度：未知

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在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（1）设 $X$ 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求 $X$ 的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.

题型：未知
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在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (1, 1), B (2, 3), C (3, 2)$ ，点 $P (x, y)$ 在 $△ A B C$ 三边围成的区域（含边界）上.
（1）若 $\overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C} = \overset{⇀}{0}$ ，求 $|\overset{⇀}{O P}|$ ；
（2）设 $\overset{⇀}{O P} = m \overset{⇀}{A B} + n \overset{⇀}{A C}$ ( $m, n \in R$ )，用 $x, y$ 表示 $m - n$ ，并求的最大值.

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四面体 $A B C D$ 及其三视图如图所示，过棱 $A B$ 的中点 $E$ 作平行于 $A D, B C$ 的平面分别交四面体的棱 $B D, D C, C A$ 于点 $F, G, H$ .

（1）证明：四边形 $E F G H$ 是矩形；
（2）求直线 $A B$ 与平面 $E F G H$ 夹角 $θ$ 的正弦值.

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