化简或求值：（1）;（2）计算.

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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化简或求值：
（1）;
（2）计算.

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从集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的所有非空子集中，等可能地取出一个。

（1）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；

（2）记所取出的非空子集的元素个数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $Eξ$

题型：未知
难度：未知

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已知曲线 $C_{n} : x^{2} - 2 nx + y^{2} = 0 (n = 1, 2, \dots)$ ．从点 $P (- 1, 0)$ 向曲线 $C_{n}$ 引斜率为 $k_{n} (k_{n} > 0)$ 的切线 $l_{n}$ ，切点为 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．

（１）求数列 ${x_{n}} 与 {y_{n}}$ 的通项公式；

（２）证明： $x_{1} \cdot x_{3} \cdot x_{5} \cdot \dots \cdot x_{2 n - 1} < \sqrt{\frac{1 - x_{n}}{1 + x_{n}}} < \sqrt{2} \sin \frac{x_{n}}{y_{n}}$

题型：未知
难度：未知

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已知二次函数 $y = g (x)$ 的导函数的图像与直线 $y = 2 x$ 平行，且 $y = g (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极小值 $m - 1 (m \neq 0)$ ．设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ ．

（１）若曲线 $y = f (x)$ 上的点 $P$ 到点 $Q (0, 2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$ ，求 $m$ 的值；

（２） $k (k \in R)$ 如何取值时，函数 $y = f (x) - kx$ 存在零点，并求出零点．

题型：未知
难度：未知

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已知曲线 $C : y = x^{2}$ 与直线 $l : x - y + 2 = 0$ 交于两点 $A (x_{A}, y_{A})$ 和 $B (x_{B}, y_{B})$ ，且 $x_{A} < x_{B}$ ．记曲线 $C$ 在点 $A$ 和点 $B$ 之间那一段 $L$ 与线段 $AB$ 所围成的平面区域（含边界）为 $D$ ．设点 $P (s, t)$ 是 $L$ 上的任一点，且点 $P$ 与点 $A$ 和点 $B$ 均不重合．

（１）若点 $Q$ 是线段 $AB$ 的中点，试求线段 $PQ$ 的中点 $M$ 的轨迹方程；

（２）若曲线 $G : x^{2} - 2 ax + y^{2} - 4 y + a^{2} + \frac{51}{25} = 0$ 与点 $D$ 有公共点，试求 $a$ 的最小值．

题型：未知
难度：未知

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如下图，已知正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为２，点Ｅ是正方形 $BC C_{1} B_{1}$ 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱 $C_{1} D_{1}, A A_{1}$ 的中点．设点 $E_{1}, G_{1}$ 分别是点Ｅ，Ｇ在平面 $DC C_{1} D_{1}$ 内的正投影．

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形 $FGAE$ 在平面 $DC C_{1} D_{1}$ 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（２）证明：直线 $F G_{1} ⊥ 平面 FE E_{1}$ ；

（３）求异面直线 $E_{1} G_{1} 与 EA$ 所成角的正弦值.

题型：未知
难度：未知

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