某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人.某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人.该兴趣小组想找一个函数来拟合该景点对外开放的第年与当年的游客人数（单位：万人）之间的关系.
（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数所具有的性质；
（2）若=，试确定的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；
（3）若=，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定的取值范围．

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（Ⅰ）求实数 $a, b, c, d$ 的值；

（Ⅱ）求直线 $y = 3 x$ 在矩阵 $M$ 所对应的线性变换作用下的像的方程。
（2）在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $L$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \sqrt{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{cases}$ （ $t$ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 $x O y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，圆 $C$ 的方程为 $ρ = 2 \sqrt{5} \sin θ$ 。
（Ⅰ）求圆 $C$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆 $C$ 与直线 $L$ 交于点 $A, B$ 。若点 $P$ 的坐标为（ $3, \sqrt{5}$ ），求 $|P A| + |P B|$ 。
（3）已知函数 $f (x) = |x - a|$ .
（Ⅰ）若不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集为 $\{x - 1 \leq x \leq 5\}$ ，求实数 $a$ 的值；
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（Ⅱ）对于一般的三次函数 $g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ,请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。

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