已知三个内角的对边分别为，向量，，且与的夹角为.（1）求角的

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知三个内角的对边分别为，向量，，且与的夹角为.
（1）求角的值；
（2）已知，的面积，求的值.

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如图，抛物线 $C_{1} : x^{2} = 4 y, C_{2} : x^{2} = - 2 p y (p > 0)$ ，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在抛物线 $C_{2}$ 上，过 $M$ 作 $C_{1}$ 的切线,切点为 $A, B$ ( $M$ 为原点 $O$ 时, $A, B$ 重合于 $O$ ).当 $x_{0} = 1 - \sqrt{2}$ 时，切线 $M A$ 的斜率为 $- \frac{1}{2}$ .

（I）求 $p$ 的值；
（II）当 $M$ 在 $C_{2}$ 上运动时，求线段 $A B$ 中点 $N$ 的轨迹方程（ $A, B$ 重合于 $O$ 时，中点为 $O$ ）.

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现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
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（II）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 $\frac{3}{5}$ ,答对每道乙类题的概率都是 $\frac{4}{5}$ ,且各题答对与否相互独立.用 $X$ 表示张同学答对题的个数,求 $X$ 的分布列和数学期望.

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（II）若 $A B = 2, A C = 1, P A = 1$ ，求证:二面角 $C - P B - A$ 的余弦值.

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（I）若 $|a| = |b|$ ,求 $x$ 的值.

（II）设函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ ,求 $f (x)$ 的最大值.

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（II）是否存在 $a$ ，使函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 4)$ 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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