在Rt△ABC，∠C90°，D为AB边上一点，点M、N分别在

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．

（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

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如图，四边形 $ABCD$ 是菱形， $∠ BAD = 120 °$ ，点 $E$ 在射线 $AC$ 上（不包括点 $A$ 和点 $C)$ ，过点 $E$ 的直线 $GH$ 交直线 $AD$ 于点 $G$ ，交直线 $BC$ 于点 $H$ ，且 $GH / / DC$ ，点 $F$ 在 $BC$ 的延长线上， $CF = AG$ ，连接 $ED$ ， $EF$ ， $DF$ ．

（1）如图1，当点 $E$ 在线段 $AC$ 上时，

①判断 $ΔAEG$ 的形状，并说明理由．

②求证： $ΔDEF$ 是等边三角形．

（2）如图2，当点 $E$ 在 $AC$ 的延长线上时， $ΔDEF$ 是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

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2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价 $y_{1}$ （元 $)$ 与月份 $x (1 ⩽ x ⩽ 12$ ，且 $x$ 为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本 $y_{2}$ （元 $)$ 与月份 $x (1 ⩽ x ⩽ 12$ ，且 $x$ 为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．

月份 $x$	$\dots$	3	4	5	6	$\dots$
售价 $y_{1} /$ 元	$\dots$	12	14	16	18	$\dots$

（1）求 $y_{1}$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（2）求 $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为 $w$ （元 $)$ ，求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？

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（1）求证： $EF$ 与 $⊙ O$ 相切．

（2）若 $EF = 2 \sqrt{3}$ ， $AC = 4$ ，求扇形 $OAC$ 的面积．

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如图，四边形 $ABCD$ 是矩形，点 $A$ 在第四象限 $y_{1} = - \frac{2}{x}$ 的图象上，点 $B$ 在第一象限 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象上， $AB$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，点 $C$ 与点 $D$ 在 $y$ 轴上， $AD = \frac{3}{2}$ ， $S_{矩形OCBE} = \frac{3}{2} S_{矩形ODAE}$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标．

（2）若点 $P$ 在 $x$ 轴上， $S_{ΔBPE} = 3$ ，求直线 $BP$ 的解析式．

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