如图，AB∥CD，ABCD，点E、F在BC上，且BECF．（

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=CF．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．

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如图，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $A$ ， $C$ 两点坐标分别是 $A (1, 0)$ ， $C (0, - 2)$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．

（1）求抛物线的表达式和 $AC$ 所在直线的表达式；

（2）将 $ΔABC$ 沿 $BC$ 所在直线折叠，得到 $ΔDBC$ ，点 $A$ 的对应点 $D$ 是否落在抛物线的对称轴上，若点 $D$ 在对称轴上，请求出点 $D$ 的坐标；若点 $D$ 不在对称轴上，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接 $AP$ 交 $BC$ 于点 $Q$ ，连接 $BP$ ， $ΔBPQ$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $ΔABQ$ 的面积记为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值最大时点 $P$ 的坐标．

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如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AE$ 是直径，交 $BC$ 于点 $H$ ，点 $D$ 在 $\hat{AC}$ 上，连接 $AD$ ， $CD$ 过点 $E$ 作 $EF / / BC$ 交 $AD$ 的延长线于点 $F$ ，延长 $BC$ 交 $AF$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BC = 2$ ， $AH = CG = 3$ ，求 $EF$ 和 $CD$ 的长．

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如图，过 $C$ 点的直线 $y = - \frac{1}{2} x - 2$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ 两点，且 $BC = AB$ ，过点 $C$ 作 $CH ⊥ x$ 轴，垂足为点 $H$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $D$ ，连接 $OD$ ， $ΔODH$ 的面积为6．

（1）求 $k$ 值和点 $D$ 的坐标；

（2）如图，连接 $BD$ ， $OC$ ，点 $E$ 在直线 $y = - \frac{1}{2} x - 2$ 上，且位于第二象限内，若 $ΔBDE$ 的面积是 $ΔOCD$ 面积的2倍，求点 $E$ 的坐标．

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时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口 $A$ 处向正南方向走300米到达革命纪念碑 $B$ 处，再从 $B$ 处向正东方向走到党史纪念馆 $C$ 处，然后从 $C$ 处向北偏西 $37 °$ 方向走200米到达人民英雄雕塑 $D$ 处，最后从 $D$ 处回到 $A$ 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东 $65 °$ 方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sin 65 ° \approx 0.91$ ， $\cos 65 ° \approx 0.42$ ， $\tan 65 ° \approx 2.14)$

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（1）求证：四边形 $AECD$ 是平行四边形；

（2）若 $AB = BC$ ， $CD = 5$ ， $AC = 8$ ，求四边形 $AECD$ 的面积．

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