喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到1

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．

（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；
（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到80℃就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？

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已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 2 x - 3 y = 5 \\ x - 2 y = k \end{matrix}$ 的解满足 $x > y$ ，求 $k$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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（1）方法选择

如图①，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ， $AB = BC = AC$ ．求证： $BD = AD + CD$ ．

小颖认为可用截长法证明：在 $DB$ 上截取 $DM = AD$ ，连接 $AM \dots$

小军认为可用补短法证明：延长 $CD$ 至点 $N$ ，使得 $DN = AD \dots$

请你选择一种方法证明．

（2）类比探究

[探究1]

如图②，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ， $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AB = AC$ ．试用等式表示线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

[探究2]

如图③，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ ABC = 30 °$ ，则线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的等量关系式是　 $BD = \sqrt{3} CD + 2 AD$ 　．

（3）拓展猜想

如图④，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $BC : AC : AB = a : b : c$ ，则线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的等量关系式是　　．

题型：未知
难度：未知

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如图，在正方形 $ABCD$ 中， $AB = 10 cm$ ， $E$ 为对角线 $BD$ 上一动点，连接 $AE$ ， $CE$ ，过 $E$ 点作 $EF ⊥ AE$ ，交直线 $BC$ 于点 $F$ ． $E$ 点从 $B$ 点出发，沿着 $BD$ 方向以每秒 $2 cm$ 的速度运动，当点 $E$ 与点 $D$ 重合时，运动停止．设 $ΔBEF$ 的面积为 $yc m^{2}$ ， $E$ 点的运动时间为 $x$ 秒．

（1）求证： $CE = EF$ ；

（2）求 $y$ 与 $x$ 之间关系的函数表达式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）求 $ΔBEF$ 面积的最大值．

题型：未知
难度：未知

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在画二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下

$x$	$\dots \dots$	$- 1$	0	1	2	3	$\dots \dots$
$y_{甲}$	$\dots \dots$	6	3	2	3	6	$\dots \dots$

乙写错了常数项，列表如下：

$x$	$\dots \dots$	$- 1$	0	1	2	3	$\dots \dots$
$y_{乙}$	$\dots \dots$	$- 2$	$- 1$	2	7	14	$\dots \dots$

通过上述信息，解决以下问题：

（1）求原二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的表达式；

（2）对于二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ ，当 $x$ 　 $⩾ - 1$ 　时， $y$ 的值随 $x$ 的值增大而增大；

（3）若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + bx + c = k (a \neq 0)$ 有两个不相等的实数根，求 $k$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度 $BG = 2$ 米，货厢底面距地面的高度 $BH = 0.6$ 米，坡面与地面的夹角 $∠ BAH = α$ ，木箱的长 $(FC)$ 为2米，高 $(EF)$ 和宽都是1.6米．通过计算判断：当 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，木箱底部顶点 $C$ 与坡面底部点 $A$ 重合时，木箱上部顶点 $E$ 会不会触碰到汽车货厢顶部．

题型：未知
难度：未知

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