已知椭圆的离心率为,且经过点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)如果过点的直线与椭圆交于两点(点与点不重合),①求的值;②当为等腰直角三角形时,求直线的方程.
已知椭圆 x 2 + 2 y 2 = 1 ,过原点的两条直线 l 1 和 l 2 分别于椭圆交于 A 、 B 和 C 、 D ,设 △ A O C 的面积为 S . (1)设 A x 1 , y 1 , C x 1 , y 1 ,用 A 、 C 的坐标表示点 C 到直线 l 1 的距离,并证明 S = 2 x 1 y 2 - x 2 y 1 ; (2)设 l 1 : y = k x , C 3 3 , 3 3 , S = 1 3 ,求 k 的值; (3)设 l 1 与 l 2 的斜率之积为 m ,求 m 的值,使得无论 l 1 与 l 2 如何变动,面积 S 保持不变.
如图, A , B , C 三地有直道相通, A B = 5 千米, A C = 3 千米, B C = 4 千米.现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地,经过 t 小时,他们之间的距离为 f ( t ) (单位:千米).甲的路线是 A B ,速度为5千米/小时,乙的路线是 A C B ,速度为8千米/小时.乙到达 B 地后原地等待.设 t = t 1 时乙到达 C 地.
(1)求 t 1 与 f ( t 1 ) 的值; (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 t 1 ≤ t ≤ 1 时,求 f ( t ) 的表达式,并判断 f ( t ) 在 [ t 1 , 1 ] 上得最大值是否超过3?说明理由.
已知函数 f ( x ) = a x 2 + 1 x ,其中 a 为实数. (1)根据 a 的不同取值,判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)若 a ∈ ( 1 , 3 ) ,判断函数 f ( x ) 在 [ 1 , 2 ] 上的单调性,并说明理由.
如图,圆锥的顶点为 P ,底面的一条直径为 A B , C 为半圆弧 A B 的中点, E 为劣弧 C B 的中点.已知 P O = 2 , O A = 1 ,求三棱锥 P - A O C 的体积,并求异面直线 P A 与 O E 所成角的大小.
对于定义域为 R 的函数 g x ,若存在正常数 T ,使得 cos g x 是以 T 为周期的函数,则称 g x 为余弦周期函数,且称 T 为其余弦周期.已知 f x 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数,其值域为.设 f x 单调递增, f 0 = 0 , f T = 4 π . (1)验证 h x = x + sin x 3 是以 6 π 为周期的余弦周期函数; (2)设 a < b .证明对任意 c ∈ f a , f b ,存在 x 0 ∈ a , b ,使得 f x 0 = c ; (3)证明:" u 0 为 cos f x = 1 在 0 , T 上得解"的充要条件是" u 0 + T 为方程 cos f x = 1 在 T , 2 T 上有解",并证明对任意 x ∈ 0 , T 都有 f x + T = f x + f T .