已知△的两个顶点的坐标分别是,且所在直线的斜率之积等于.(Ⅰ)求顶点的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线;(Ⅱ)当时,过点的直线交曲线于两点,设点关于轴的对称点为(不重合) 试问:直线与轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.
已知 f ( x ) = | x - a | x + | x - 2 | ( x - a ) .
(1)当 a = 1 时,求不等式 f ( x ) < 0 的解集;
(2)若 x ∈ ( - ∞ , 1 ) 时, f ( x ) < 0 ,求 a 的取值范围.
在极坐标系中,O为极点,点 M ( ρ 0 , θ 0 ) ( ρ 0 > 0 ) 在曲线 C : ρ = 4 sin θ 上,直线l过点 A ( 4 , 0 ) 且与 OM 垂直,垂足为P.
(1)当 θ 0 = π 3 时,求 ρ 0 及l的极坐标方程;
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.
已知点 A(−2,0), B(2,0),动点 M( x, y)满足直线 AM与 BM的斜率之积为− 1 2 .记 M的轨迹为曲线 C.
(1)求 C的方程,并说明 C是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交 C于 P, Q两点,点 P在第一象限, PE⊥ x轴,垂足为 E,连结 QE并延长交 C于点 G.
(i)证明: △ PQG 是直角三角形;
(ii)求 △ PQG 面积的最大值.
已知函数 f x = ln x - x + 1 x - 1 .
(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;
(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x 在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线 y = e x 的切线.
已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0, 4 a n + 1 = 3 a n - b n + 4 , 4 b n + 1 = 3 b n - a n - 4 .
(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an–bn}是等差数列;
(2)求{an}和{bn}的通项公式.