规定其中，为正整数，且1，这是排列数(是正整数，)的一种推广

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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规定其中，为正整数，且=1，这是排列数(是正整数，)的一种推广．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ）排列数的两个性质：①，②(其中m，n是正整数)．是否都能推广到(，是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
(Ⅲ）已知函数，试讨论函数的零点个数．

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已知数列 ${a_{n}}$ ： $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = r, a_{n + 3} = a_{n} + 2$ （ $n$ 是正整数），与数列 ${b_{n}}$ ： $b_{1} = 1, b_{2} = 0, b_{3} = - 1, b_{4} = 0, b_{n + 4} = b_{n}$ （ $n$ 是正整数）．记 $T_{n} = b_{1} a_{1} + b_{2} a_{2} + b_{3} a_{3} + . . . + b_{n} a_{n}$ ．
（1）若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{12} = 64$ ，求 $r$ 的值；
（2）求证：当 $n$ 是正整数时， $T_{128} = - 4 n$ ；
（3）已知 $r > 0$ ，且存在正整数 $m$ ，使得在 $T_{12 m + 1}, T_{12 m + 2}, . . ., T_{12 m + 12}$ 中有4项为100．求 $r$ 的值，并指出哪4项为100．

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已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ ．
（1）求双曲线 $C$ 的渐近线方程；
（2）已知点M的坐标为 $(0, 1)$ ．设 $P$ 是双曲线 $C$ 上的点， $Q$ 是点 $P$ 关于原点的对称点．记 $λ = M P \times M Q$ ．求 $λ$ 的取值范围；
（3）已知点 $D, E, M$ 的坐标分别为 $(- 2, - 1) (2, - 1) (0, 1)$ ， $P$ 为双曲线 $C$ 上在第一象限内的点．记 $l$ 为经过原点与点 $P$ 的直线， $s$ 为 $∆ D E M$ 截直线 $l$ 所得线段的长．试将 $s$ 表示为直线 $l$ 的斜率k的函数．

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（1）若 $f (x) = 2$ ，求 $x$ 的值；
（2）若 $2^{t} f (2 t) + m f (t) \geq 0$ 对于 $t \in [1, 2]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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已知函数 $f (x) = \sin 2 x$ ， $g (x) = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ ，直线 $x = t (t \in R)$ 与函数 $f (x), g (x)$ 的图象分别交于 $M$ 、 $N$ 两点．

（1）当 $t = \frac{π}{4}$ 时，求 $|M N|$ 的值；
（2）求 $|M N|$ 在 $t \in [0, \frac{π}{2}]$ 时的最大值．

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如图,某住宅小区的平面图呈扇形 $A O C$ .小区的两个出入口设置在点 $A$ 及点 $C$ 处,小区里有两条笔直的小路 $A D, D C$ ,且拐弯处的转角为 $120^{°}$ .已知某人从 $C$ 沿走到 $C D$ 用了10分钟,从 $D$ 沿 $D A$ 走到 $A$ 用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,求该扇形的半径 $O A$ 的长(精确到1米)．

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