某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 2 3 ,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为 2 5 ,中奖可以获得3分;未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品。 (Ⅰ)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X ,求 X ≤ 3 的概率; (Ⅱ)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
(本小题满分14分)已知函数对任意,都有. (1)求和的值; (2)若数列满足:则数列是等差数列吗?请给予证明。 (3)令,试比较与的大小。
(本小题满分14分)已知向量,,其中设函数. (1)若的最小正周期为,求函数的单调递减区间; (2)若函数图像的一条对称轴为,求的值。
(本小题满分14分) 某市拟在长为的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数,的图象,且图象的最高点为;赛道的后一部分为折线段MNP。为保证参赛运动员的安全,限定. (1)求的值和M、P两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长。
(本小题满分14分) 在数列中,且满足. (1)求数列的通项公式; (2)设求.
(本小题满分12分)已知数列的前项和 (1)求; (2)求证:数列是等比数列。