三棱锥,底面为边长为的正三角形,平面平面,,为上一点,,为底面三角形中心. (Ⅰ)求证∥面;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)设为中点,求二面角的余弦值.
已知函数. (1)求函数的最大值; (2)若函数与有相同极值点, ①求实数的值; ②若对于(为自然对数的底数),不等式恒成立,求实数的取值范围.
在平面直角坐标系中,点到两点,的距离之和为,设点的轨迹为曲线. (1)写出的方程; (2)设过点的斜率为()的直线与曲线交于不同的两点,,点在轴上,且,求点纵坐标的取值范围.
在直三棱柱中,平面,其垂足落在直线上. (1)求证:; (2)若,,为的中点,求三棱锥的体积.
某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查,以计算每户每月的碳排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.若小区内有至少的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区”.已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小区. (1)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率; (2)假定选择的“非低碳小区”为小区,调查显示其“低碳族”的比例为,数据如图1所示,经过同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图2所示,问这时小区是否达到“低碳小区”的标准?
已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前项和为,. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和.