如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．

（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

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如图，在凸四边形 $ABCD$ 中，已知 $∠ ABC + ∠ CDA = 300^{\circ}, AB \cdot CD = BC \cdot AD$ .求证: $AB \cdot CD = AC \cdot BD$ .

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如图所示，点 $E$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $BC$ 延长线上一点，连接 $DE$ ，过顶点 $B$ 作 $BF ⊥ DE$ ，垂足为 $F, BF$ 交边 $DC$ 于点 $G$ .

（1）求证: $GD \cdot AB = DF \cdot BG;$

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如图抛物线 $y = a x^{2} + bx (a > 0)$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 有公共点 $A, B$ ,已知点 $A$ 的坐标为 $(1, 4)$ ,点 $B$ 在第三象限内,且 $△ AOB$ 的面积为 $3$ （ $O$ 为坐标原点）.

（1）求实数 $a, b, k$ 的值;

（2）过抛物线上点 $A$ 作直线 $AC / / x$ 轴,交拋物线于另一点 $C$ ,求所有满足 $△ EOC \sim △ AOB$ 的点 $E$ 的坐标.

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如图,已知 $A, B$ 两点的坐标分别为 $A (0, 2 \sqrt{3}), B (2, 0)$ .直线 $AB$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于点 $C$ 和点 $D (- 1, a)$ .

（1）求直线 $AB$ 和反比例函数的解析式;

（2）求 $∠ ACO$ 的度数;

（3）将 $△ OBC$ 绕点 $O$ 逆时针方向旋转 $α$ 角（ $α$ 为锐角）,得到 $△ O B^{'} C^{'}$ .当 $α$ 为多少度时, $O C^{'} ⊥ AB$ .并求此时线段 $A B^{'}$ 的长.

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如图,点 $P$ 是双曲线 $y = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} < 0, x < 0)$ 上一动点,过点 $P$ 作 $x$ 轴, $y$ 轴的垂线,分别交 $x$ 轴, $y$ 轴于 $A, B$ 两点,交双曲线 $y = \frac{k_{2}}{x} (0 < k_{2} < |k_{1}|)$ 于 $E, F$ 两点.

（1）图①中,四边形 $P E O F$ 的面积 $S_{1}$ 为多少?（用含 $k_{1}, k_{2}$ 的式子表示.直接写出结论,不需过程）

（2）图②中,设 $P$ 点坐标为 $(- 4, 3)$ .

①判断 $EF$ 与 $AB$ 的位置关系,并证明你的结论;

②记 $S_{2} = S_{△ PEF} - S_{△ OEF}, S_{2}$ 是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由.

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