三宁公司扩建，某项工程招标时，工程领导小组接到了甲、乙两个工

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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“三宁”公司扩建，某项工程招标时，工程领导小组接到了甲、乙两个工程队的投标书，甲工程队施工一天需付工程款2万元，乙工程队施工一天需付工程款1.2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，得到以下三种方案：
方案①：由甲工程队单独完成这项工程，刚好如期完成；
方案②：由乙工程队单独完成这项工程，要比规定日期多5天；
方案③：由甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙工程队单独做，也正好如期完成；
（1）求规定的日期是多少天？
（2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪种方案最省钱？请说明理由。

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（1）方法选择

如图①，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ， $AB = BC = AC$ ．求证： $BD = AD + CD$ ．

小颖认为可用截长法证明：在 $DB$ 上截取 $DM = AD$ ，连接 $AM \dots$

小军认为可用补短法证明：延长 $CD$ 至点 $N$ ，使得 $DN = AD \dots$

请你选择一种方法证明．

（2）类比探究

[探究1]

如图②，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ， $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AB = AC$ ．试用等式表示线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

[探究2]

如图③，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ ABC = 30 °$ ，则线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的等量关系式是　 $BD = \sqrt{3} CD + 2 AD$ 　．

（3）拓展猜想

如图④，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $BC : AC : AB = a : b : c$ ，则线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的等量关系式是　　．

题型：未知
难度：未知

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如图，在正方形 $ABCD$ 中， $AB = 10 cm$ ， $E$ 为对角线 $BD$ 上一动点，连接 $AE$ ， $CE$ ，过 $E$ 点作 $EF ⊥ AE$ ，交直线 $BC$ 于点 $F$ ． $E$ 点从 $B$ 点出发，沿着 $BD$ 方向以每秒 $2 cm$ 的速度运动，当点 $E$ 与点 $D$ 重合时，运动停止．设 $ΔBEF$ 的面积为 $yc m^{2}$ ， $E$ 点的运动时间为 $x$ 秒．

（1）求证： $CE = EF$ ；

（2）求 $y$ 与 $x$ 之间关系的函数表达式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）求 $ΔBEF$ 面积的最大值．

题型：未知
难度：未知

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在画二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下

$x$	$\dots \dots$	$- 1$	0	1	2	3	$\dots \dots$
$y_{甲}$	$\dots \dots$	6	3	2	3	6	$\dots \dots$

乙写错了常数项，列表如下：

$x$	$\dots \dots$	$- 1$	0	1	2	3	$\dots \dots$
$y_{乙}$	$\dots \dots$	$- 2$	$- 1$	2	7	14	$\dots \dots$

通过上述信息，解决以下问题：

（1）求原二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的表达式；

（2）对于二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ ，当 $x$ 　 $⩾ - 1$ 　时， $y$ 的值随 $x$ 的值增大而增大；

（3）若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + bx + c = k (a \neq 0)$ 有两个不相等的实数根，求 $k$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度 $BG = 2$ 米，货厢底面距地面的高度 $BH = 0.6$ 米，坡面与地面的夹角 $∠ BAH = α$ ，木箱的长 $(FC)$ 为2米，高 $(EF)$ 和宽都是1.6米．通过计算判断：当 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，木箱底部顶点 $C$ 与坡面底部点 $A$ 重合时，木箱上部顶点 $E$ 会不会触碰到汽车货厢顶部．

题型：未知
难度：未知

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（1）阅读理解

如图，点 $A$ ， $B$ 在反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上，连接 $AB$ ，取线段 $AB$ 的中点 $C$ ．分别过点 $A$ ， $C$ ， $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $CF$ 交反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象于点 $D$ ．点 $E$ ， $F$ ， $G$ 的横坐标分别为 $n - 1$ ， $n$ ， $n + 1 (n > 1)$ ．

小红通过观察反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象，并运用几何知识得出结论：

$AE + BG = 2 CF$ ， $CF > DF$

由此得出一个关于 $\frac{1}{n - 1}$ ， $\frac{1}{n + 1}$ ， $\frac{2}{n}$ ，之间数量关系的命题：

若 $n > 1$ ，则　 $\frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n + 1} > \frac{2}{n}$ 　．

（2）证明命题

小东认为：可以通过“若 $a - b ⩾ 0$ ，则 $a ⩾ b$ ”的思路证明上述命题．

小晴认为：可以通过“若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a \div b ⩾ 1$ ，则 $a ⩾ b$ ”的思路证明上述命题．

请你选择一种方法证明（1）中的命题．

题型：未知
难度：未知

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