函数，．（1）求的极值点；（2）若对恒成立，求实数的取值范围

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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函数，．
（1）求的极值点；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．

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设函数 $f (x) = \frac{c^{2}}{x^{2} + a x + a}$ ,其中 $a$ 为实数.
(Ⅰ)若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ,求 $a$ 的取值范围;
(Ⅱ)当 $f (x)$ 的定义域为 $R$ 时,求 $f (x)$ 的单减区间.

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如图,在底面为直角梯形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ , $∠ A B C = 90 °$ , $P A ⊥ 平面$ ， $P A = 4$ , $A D = 2$ , $A B = 2 \sqrt{3}$ , $B C = 6$ .

(Ⅰ)求证: $B D ⊥ 平面 P A C$ ;

(Ⅱ)求二面角 $P - B D - D$ 的大小.

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某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 $\frac{4}{5}$ 、 $\frac{3}{5}$ 、 $\frac{2}{5}$ ，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为 $ζ$ ，求随机变量 $ζ$ 的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）

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设函数 $f (x) = a - b$ ,其中向量 $a = (m, \cos 2 x), b = (1 + \sin 2 x, 1), x \in R$ 且函数 $y = f (x)$ 的图象经过点， $(\frac{π}{4}, 2)$

（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的最小值及此时x的值的集合.

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设函数 $f (x) = x^{2} + b \ln (x + 1)$ ,其中 $b \neq 0$ .
(I)当 $b > \frac{1}{2}$ 时,判断函数 $f (x)$ 在定义域上的单调性;
(II)求函数 $f (x)$ 的极值点;
(III)证明对任意的正整数 $n$ ,不等式 $\ln (\frac{1}{n} + 1) > \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n^{3}}$ 都成立.

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