（本小题满分12分）由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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（本小题满分12分）
由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示.

节排器等级如表格所示

综合得分K的范围	节排器等级
	一级品
	二级品
	三级品

若把频率分布直方图中的频率视为概率，则
（1）如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；
（2）如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数的分布列及数学期望.

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在平面直角坐标系中,曲线 $y = x^{2} - 6 x + 1$ 与坐标轴的交点都在圆 $C$ 上，
（1）求圆 $C$ 的方程；
（2）如果圆 $C$ 与直线 $x - y + a = 0$ 交于 $A, B$ 两点,且 $O A ⊥ O B$ ,求 $a$ 的值.

题型：未知
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某种产品以其质量指标值衡量，质量指标越大越好，且质量指标值大于102的产品为优质产品，现在用两种新配方（ $A$ 配方、 $B$ 配方）做试验，各生产了100件，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：
$A$ 配方的频数分布表

指标值分组	$[90, 94)$	$[94, 98)$	$[98, 102)$	$[102, 106)$	$[106, 110)$
频数	8	20	42	22	8

B配方的频数分布表

指标值分组	$[90, 94)$	$[94, 98)$	$[98, 102)$	$[102, 106)$	$[106, 110)$
频数	4	12	42	32	8

(1)分别估计使用 $A$ 配方，B配方生产的产品的优质品的概率；
(2)已知用 $B$ 配方生产一件产品的利润与其质量指标的关系为： $y = {\begin{matrix} - 2 (t < 94) \\ 2 (94 \leq t < 102) \\ 4 (t \geq 102) \end{matrix}$ 估计用 $B$ 配方生产上述产品平均每件的利润。

题型：未知
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如图,四棱锥 $P - A B C D$ 中,底面 $A B C D$ 为平行四边形, $∠ D A B = 60^{°}, A B = 2 A D, P D ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)证明: $P A ⊥ B D$ ;

(2)设 $P D = A D = 1$ ,求棱锥 $D - P B C$ 的高.

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已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{3}, q = \frac{1}{3}$ ，
（1） $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项的和，证明： $S_{n} = \frac{1 - a_{n}}{2}$ .
（2）设 $b_{n} = \log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + . . . + \log_{3} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

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已知平面上的线段 $l$ 及点 $P$ ，在 $l$ 上任取一点 $Q$ ，线段 $P Q$ 长度的最小值称为点 $P$ 到线段 $l$ 的距离，记作 $d (P, l)$ .
⑴ 求点 $P (1, 1)$ 到线段 $l : x - y - 3 = 0 (3 \leq x \leq 5)$ 的距离 $d (P, l)$ ；
⑵ 设 $l$ 是长为2的线段，求点集 $D = \{P | d (P, l) \leq 1\}$ 所表示图形的面积；
⑶ 写出到两条线段 $l_{1}, l_{2}$ 距离相等的点的集合 $Ω = \{P | d (P, l_{1}) = d (P, l_{2})\}$ ，其中 $l_{1} = A B, l_{2} = C D$ ，
$A, B, C, D$ 是下列三组点中的一组.对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
① $A (1, 3), B (1, 0), (- 1, 3), D (- 1, 0)$ .
② $A (1, 3), B (1, 0), (- 1, 3), D (- 1, - 2)$ .
③ $A (0, 1), B (0, 0), (0, 0), D (2, 0)$ .

题型：未知
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