若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数)．
（1）求的极值；
（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

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已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足： $a_{1} = λ$ ， $a_{n + 1} = \frac{2}{3} a_{n} + n - 4$ ， $b_{n} = (- 1)^{n} (a_{n} - 3 n + 21)$ ，其中 $λ$ 为实数， $n$ 为正整数。

（Ⅰ）证明：对任意的实数 $λ$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 不是等比数列；

（Ⅱ）设 $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，是否存在实数 $λ$ ，使得对任意正整数 $n$ ，都有 $S_{n} > - 12$ ?若存在，求 $λ$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

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已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两个焦点为 $F : (- 2, 0), F : (2, 0)$ $点 P (3, \sqrt{7})$ 的曲线 $C$ 上.
（Ⅰ）求双曲线 $C$ 的方程；
（Ⅱ）记 $O$ 为坐标原点，过点 $Q (0, 2)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于不同的两点 $E, F$ ，若 $△ O E F$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ 求直线 $l$ 的方程

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如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm ^2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？

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如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} B C ⊥ 侧面 A_{1} A B B_{1}$ .
（Ⅰ）求证： $A B ⊥ B C$ .

（Ⅱ）若 $A A_{1} = A C = a$ ，直线 $A C$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成的角为 $θ$ ，二面角 $A_{1} - B C - A$ 的大小为 $φ$ ，求证： $θ + φ = \frac{π}{2}$ .

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已知函数 $f (x) = x^{3} + m x^{2} - m^{2} x + 1$ （ $m$ 为常数，且 $m > 0$ ）有极大值9.
（Ⅰ）求 $m$ 的值；
（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线 $y = f (x)$ 的切线，求此直线方程.

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