已知,若满足,(1)求实数的值; (2)判断函数的单调性,并加以证明。
(本题满分13分)设椭圆: 过,两点,其中为椭圆的离心率,为坐标原点.(I)求椭圆的方程;(II)过椭圆右焦点的一条直线与椭圆交于两点,若,求弦的长.
(本题满分13分)已知函数.(I)若函数在处的切线与轴平行,求值;(II)讨论函数在其定义域内的单调性;(III)定义:若函数在区间D上任意都有,则称函数是区间D上的凹函数.设函数,其中是的导函数.根据上述定义,判断函数是否为其定义域内的凹函数,并说明理由.
(本题满分13分) 已知正项数列的前项和为,且满足,.(I)求、的值,并求数列的通项公式;(II)设,数列的前项和为,证明:.
(本题满分12分)如图,在四棱锥中,为正三角形,⊥平面,⊥平面,为棱的中点,.(I)求证:∥平面;(II)求证:平面⊥平面.
(本小题满分12分)为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况,从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图所示:(I)若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15,求乙校高三年级学生总人数;(II)根据茎叶图,分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩;(III)从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格(低于60分为不及格)的学生中随机抽取2人,求至少抽到一名乙校学生的概率.