(本题满分6分)在△ABC中，∠C90°，DE垂直平分斜边A

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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(本题满分6分)在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E，若∠CAE=∠B+30°，求∠AEC的度数。

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如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $M$ 是 $AB$ 的中点，连接 $MC$ ，点 $P$ 是线段 $BC$ 延长线上一点，且 $PC < BC$ ，连接 $MP$ 交 $AC$ 于点 $H$ ．将射线 $MP$ 绕点 $M$ 逆时针旋转 $60 °$ 交线段 $CA$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）找出与 $∠ AMP$ 相等的角，并说明理由．

（2）如图2， $CP = \frac{1}{2} BC$ ，求 $\frac{AD}{BC}$ 的值．

（3）在（2）的条件下，若 $MD = \frac{\sqrt{13}}{3}$ ，求线段 $AB$ 的长．

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某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量 $y (kg)$ 与时间第 $t$ 天之间的函数关系式为 $y = 2 t + 100 (1 ⩽ t ⩽ 80$ ， $t$ 为整数），销售单价 $p$ （元 $/ kg)$ 与时间第 $t$ 天之间满足一次函数关系如下表：

时间第 $t$ 天	1	2	3	$\dots$	80
销售单价 $p /$ （元 $/ kg)$	49.5	49	48.5	$\dots$	10

（1）直接写出销售单价 $p$ （元 $/ kg)$ 与时间第 $t$ 天之间的函数关系式．

（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

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如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $AE ⊥ BC$ ，垂足为点 $E$ ，以 $AE$ 为直径的 $⊙ O$ 与边 $CD$ 相切于点 $F$ ，连接 $BF$ 交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，连接 $EG$ ．

（1）求证： $CD = AD + CE$ ．

（2）若 $AD = 4 CE$ ，求 $\tan ∠ EGF$ 的值．

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如图， $A$ ， $B$ 两市相距 $150 km$ ，国家级风景区中心 $C$ 位于 $A$ 市北偏东 $60 °$ 方向上，位于 $B$ 市北偏西 $45 °$ 方向上．已知风景区是以点 $C$ 为圆心、 $50 km$ 为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接 $A$ ， $B$ 两市的高速公路，高速公路 $AB$ 是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调查（问卷调查表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题．

（1）本次接受问卷调查的学生有　　名．

（2）补全条形统计图．

（3）扇形统计图中 $B$ 类节目对应扇形的圆心角的度数为　　．

（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．

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