在如图的直三棱柱中，，点是的中点.(1)求证：∥平面；(2)

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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在如图的直三棱柱中，，点是的中点.

(1)求证：∥平面；
(2)求异面直线与所成的角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值；

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已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的周期为 $π$ ，图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{4}, 0)$ ，将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 $\frac{π}{2}$ 单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象。
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的解析式
（Ⅱ）是否存在 $x_{0} \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，使得 $f (x_{0}), g (x_{0}), f (x_{0}) g (x_{0})$ 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 $x_{0}$ 的个数，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求实数 $a$ 与正整数 $n$ ，使得 $F (x) = f (x) + a g (x)$ 在 $(0, n π)$ 内恰有2013个零点.

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如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ , $A B ∥ D C, A A_{1} = 1, A B = 3 k, A D = 4 k, B C = 5 k, D C = 6 k, (k > 0)$

（Ⅰ）求证： $C D ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ .

（Ⅱ）若直线 $A A_{1}$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值为 $\frac{6}{7}$ ，求 $k$ 的值.

（Ⅲ）现将与四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 $f (k)$ ，写出 $f (k)$ 的解析式。（直接写出答案，不必说明理由）.

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如图，在正方形 $O A B C$ 中， $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(10, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, 10)$ ，分别将线段 $O A$ 和 $A B$ 十等分，分点分别记为 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{9}$ 和 $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{9}$ ，连接 $O B_{i}$ ，过 $A_{i}$ 作 $x$ 轴的垂线与 $O B_{i}$ 交于点 $P_{i} (i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9)$ 。

（1）求证：点 $P_{i} (i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9)$ 都在同一条抛物线上，并求抛物线 $E$ 的方程；
（2）过点 $C$ 作直线 $l$ 与抛物线E交于不同的两点 $M, N$ , 若 $∆ O C M$ 与 $∆ O C N$ 的面积之比为4:1，求直线 $l$ 的方程。

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某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 $\frac{2}{3}$ ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 $\frac{2}{5}$ ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 $X$ ,求 $X \leq 3$ 的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

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