如图,在正方形 O A B C 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( 10 , 0 ) ,点 C 的坐标为 ( 0 , 10 ) ,分别将线段 O A 和 A B 十等分,分点分别记为 A 1 , A 2 , ⋯ , A 9 和 B 1 , B 2 , ⋯ , B 9 ,连接 O B i ,过 A i 作 x 轴的垂线与 O B i 交于点 P i ( i ∈ N * , 1 ≤ i ≤ 9 ) 。
(1)求证:点 P i ( i ∈ N * , 1 ≤ i ≤ 9 ) 都在同一条抛物线上,并求抛物线 E 的方程; (2)过点 C 作直线 l 与抛物线E交于不同的两点 M , N , 若 ∆ O C M 与 ∆ O C N 的面积之比为4:1,求直线 l 的方程。
(本小题满分15分) 已知函数. (Ⅰ) 若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点,求的值; (Ⅱ) 求证:函数存在单调递减区间,并求出单调递减区间的长度的取值范围.
(本小题满分15分) 已知圆,为抛物线上的动点. (Ⅰ) 若,求过点的圆的切线方程; (Ⅱ) 若,求过点的圆的两切线与轴围成的三角形面积的最小值.
(本小题满分14分) 如图,四棱锥中,是正三角形,四边形是矩形,且平面平面,,. (Ⅰ) 若点是的中点,求证:平面; (II)试问点在线段上什么位置时,二面角的余弦值为.
(本小题满分14分) 已知正项数列的首项,前项和满足. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)若数列的前项和为,求证:.
已知内角,,的对边分别为,,,其中,. (Ⅰ)若,求的值; (Ⅱ)设,求的取值范围.