如图,在正方形 O A B C 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( 10 , 0 ) ,点 C 的坐标为 ( 0 , 10 ) ,分别将线段 O A 和 A B 十等分,分点分别记为 A 1 , A 2 , ⋯ , A 9 和 B 1 , B 2 , ⋯ , B 9 ,连接 O B i ,过 A i 作 x 轴的垂线与 O B i 交于点 P i ( i ∈ N * , 1 ≤ i ≤ 9 ) 。
(1)求证:点 P i ( i ∈ N * , 1 ≤ i ≤ 9 ) 都在同一条抛物线上,并求抛物线 E 的方程; (2)过点 C 作直线 l 与抛物线E交于不同的两点 M , N , 若 ∆ O C M 与 ∆ O C N 的面积之比为4:1,求直线 l 的方程。
(本小题满分12分)如图,四棱锥P—ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,M为PC中点,(Ⅰ)求证://平面;(Ⅱ)求证:平面PDC平面PAD.
(本小题满分14分)经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为.点、在轨迹上,且关于轴对称,过线段(两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹在点处的切线平行,设直线与轨迹交于点,.(Ⅰ)求轨迹的方程;(Ⅱ)证明:;(Ⅲ)若点到直线的距离等于,且△的面积为20,求直线的方程.
(本小题满分13分)已知函数().(Ⅰ)当时,求函数的极值;(Ⅱ)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
(本小题满分14分)已知函数(). (Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,取得极值. (1)若,求函数在上的最小值;(2)求证:对任意,都有.
(本小题满分13分)如图,椭圆:()和圆:,已知圆将椭圆的长轴三等分,椭圆右焦点到直线的距离为,椭圆的下顶点为,过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、. ①求证:直线经过一定点;
y
②试问:是否存在以为圆心,为半径的圆,使得直线和直线都与圆相交?若存在,请求出所有的值;若不存在,请说明理由.