如图,在正方形 O A B C 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( 10 , 0 ) ,点 C 的坐标为 ( 0 , 10 ) ,分别将线段 O A 和 A B 十等分,分点分别记为 A 1 , A 2 , ⋯ , A 9 和 B 1 , B 2 , ⋯ , B 9 ,连接 O B i ,过 A i 作 x 轴的垂线与 O B i 交于点 P i ( i ∈ N * , 1 ≤ i ≤ 9 ) 。
(1)求证:点 P i ( i ∈ N * , 1 ≤ i ≤ 9 ) 都在同一条抛物线上,并求抛物线 E 的方程; (2)过点 C 作直线 l 与抛物线E交于不同的两点 M , N , 若 ∆ O C M 与 ∆ O C N 的面积之比为4:1,求直线 l 的方程。
已知正项数列中,,点在抛物线上.数列中,点在经过点,以为方向向量的直线上. (Ⅰ)求数列,的通项公式; (Ⅱ)若,问是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由; (Ⅲ)对任意的正整数,不等式成立,求正数的取值范围.
设椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为,过与垂直的直线交轴负半轴于点,且. (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)若过、、三点的圆恰好与直线相切,求椭圆的方程; (Ⅲ)过的直线与(Ⅱ)中椭圆交于不同的两点、,则的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
如图,在中,°,,,,分别是,上的点,且,,将沿折起到的位置,使,如图. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)若是的中点,求与平面所成角的大小; (Ⅲ)点是线段的靠近点的三等分点,点是线段上的点,直线过点且垂直于平面,求点到直线的距离的最小值.
在数列中,时,其前项和满足:. (Ⅰ)求证:数列是等差数列,并用表示; (Ⅱ)令,数列的前项和为求使得对所有都成立的实数的取值范围.
已知. (Ⅰ)若的定义域为,求的值域; (Ⅱ)在中,分别是所对边, 当,时,求的最小值.