如图,在正方形 O A B C 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( 10 , 0 ) ,点 C 的坐标为 ( 0 , 10 ) ,分别将线段 O A 和 A B 十等分,分点分别记为 A 1 , A 2 , ⋯ , A 9 和 B 1 , B 2 , ⋯ , B 9 ,连接 O B i ,过 A i 作 x 轴的垂线与 O B i 交于点 P i ( i ∈ N * , 1 ≤ i ≤ 9 ) 。
(1)求证:点 P i ( i ∈ N * , 1 ≤ i ≤ 9 ) 都在同一条抛物线上,并求抛物线 E 的方程; (2)过点 C 作直线 l 与抛物线E交于不同的两点 M , N , 若 ∆ O C M 与 ∆ O C N 的面积之比为4:1,求直线 l 的方程。
如图,四边形 ABCD 为正方形, E , F 分别为 AD , BC 的中点,以 DF 为折痕把 折起,使点 C 到达点 P 的位置,且 PF ⊥ BF .
(1)证明:平面 PEF ⊥ 平面 ABFD ;
(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.
在平面四边形 ABCD 中, ∠ ADC = 9 0 ∘ , ∠ A = 4 5 ∘ , AB = 2 , BD = 5 .
(1)求 cos ∠ ADB ;
(2)若 DC = 2 2 ,求 BC .
设函数 f ( x ) = 5 - x + a - x - 2 .
(1)当 a = 1 时,求不等式 f ( x ) ≥ 0 的解集;
(2)若 f ( x ) ≤ 1 恒成立,求 a 的取值范围.
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 x = 2 cosθ y = 4 sinθ ( θ 为参数),直线 l 的参数方程为 x = 1 + tcosα y = 2 + tsinα ( t 为参数).
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程;
(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 1 , 2 ,求 l 的斜率.
已知函数 f x = e x - a x 2 .
(1)若 a = 1 ,证明:当 x ≥ 0 时, f x ≥ 1 ;
(2)若 f x 在只有一个零点,求 a 的值.