如图,在正方形 O A B C 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( 10 , 0 ) ,点 C 的坐标为 ( 0 , 10 ) ,分别将线段 O A 和 A B 十等分,分点分别记为 A 1 , A 2 , ⋯ , A 9 和 B 1 , B 2 , ⋯ , B 9 ,连接 O B i ,过 A i 作 x 轴的垂线与 O B i 交于点 P i ( i ∈ N * , 1 ≤ i ≤ 9 ) 。
(1)求证:点 P i ( i ∈ N * , 1 ≤ i ≤ 9 ) 都在同一条抛物线上,并求抛物线 E 的方程; (2)过点 C 作直线 l 与抛物线E交于不同的两点 M , N , 若 ∆ O C M 与 ∆ O C N 的面积之比为4:1,求直线 l 的方程。
已知向量,,,函数的最大值为. (Ⅰ)求; (Ⅱ)将函数的图像向左平移个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图像,求在上的值域.
给定椭圆:,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为,且其短轴上的一个端点到的距离为. (Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程; (Ⅱ)点是椭圆的“准圆”上的一个动点,过动点作直线,使得与椭圆都只有一个交点,试判断是否垂直,并说明理由.
已知函数. (Ⅰ)若在处的切线垂直于直线,求该点的切线方程,并求此时函数的单调区间; (Ⅱ)若对任意的恒成立,求实数的取值范围.
如图,在中,,,是上的高,沿把折起,使. (Ⅰ)证明:平面⊥平面; (Ⅱ)若,求三棱锥的表面积.
在斜三角形中,角的对边分别为. (Ⅰ)若,求的值; (Ⅱ)若,求的值.