在直线上任取一点,过点作以为焦点的椭圆,当M在什么位置时,所作椭圆长轴最短?求此时椭圆的方程.
(本小题满分12分)已知椭圆的焦点为,且过点.(Ⅰ) 求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设直线交椭圆于两点,求线段的中点坐标.
(本小题满分14分)本题是选作题,考生只能选做其中两个小题.三个小题都作答的,以前两个小题计算得分。①选修4-4《坐标系与参数方程》选做题(本小题满分7分)已知曲线C的参数方程是为参数),且曲线C与直线=0相交于两点A、B求弦AB的长。②选修4-2《矩阵与变换》选做题(本小题满分7分)已知矩阵的一个特征值为,它对应的一个特征向量。(Ⅰ)求矩阵M;(Ⅱ)点P(1, 1)经过矩阵M所对应的变换,得到点Q,求点Q的坐标。③选修4-5《不等式选讲》选做题(本小题满分7分)函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,求的最小值。
(本小题满分14分)已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当为偶数时,正项数列满足,求的通项公式;(3)当为奇数且时,求证:.
(本小题满分13分)已知椭圆过点,且点在轴上的射影恰为椭圆的一个焦点(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过作两条倾斜角互补的直线与椭圆分别交于两点.试问:四边形能否为平行四边形?若能,求出直线的方程;否则说明理由.
(本小题满分13分) 已知几何体的三视图及直观图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.(Ⅰ)求此几何体的体积的大小;(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值;(Ⅲ)试探究在上是否存在点,使得,并说明理由.