（本题16分）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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（本题16分）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值.

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探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为 $m$ 和 $4 m$ .笔的弹跳过程分为三个阶段：

①把笔竖直倒立于水平硬桌面，下压外壳使其下端接触桌面（见题图a）；
②由静止释放，外壳竖直上升至下端距桌面高度为 $h_{1}$ 时，与静止的内芯碰撞（见题图b）；
③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为 $h_{2}$ 处（见题图c）。
设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力、不计摩擦与空气阻力，重力加速度为 $g$ 。求：
（1）外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小；

（2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功；

（3）从外壳下端离开桌面到上升至 $h_{2}$ 处，笔损失的机械能。

题型：未知
难度：未知

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如图所示，巡查员站立于一空的贮液池边，检查池角处出液口的安全情况。已知池宽为 $L$ ，照明灯到池底的距离为 $H$ 。若保持照明光束方向不变，向贮液池中注入某种液体，当液面高为 $\frac{H}{2}$ 时，池底的光斑距离出液口 $\frac{L}{4}$ 。

（1）试求当液面高为 $\frac{2}{3} H$ 时，池底的光斑到出液口的距离 $x$ 。

（2）控制出液口缓慢地排出液体，使液面以 $v_{0}$ 的速率匀速下降，试求池底的光斑移动的速率 $v_{x}$ 。

题型：未知
难度：未知

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（1）为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施了投弹爆破，飞机在河道上空高 $H$ 处以速度 $v_{0}$ 水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标。求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小。（不计空气阻力）

（2）如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心 $O O'$ 转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为 $R$ 和 $H$ ，筒内壁 $A$ 点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为 $m$ 的小物块。求
①当筒不转动时，物块静止在筒壁 $A$ 点受到的摩擦力和支持力的大小；

②当物块在 $A$ 点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。

题型：未知
难度：未知

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图丙是北京奥运会期间安置在游泳池底部的照相机拍摄的一张照片，照相机的镜头竖直向上。照片中，水立方运动馆的景象呈现在半径 $r = 11 c m$ 的圆型范围内，水面上的运动员手到脚的长度 $l = 10 c m$ ，若已知水的折射率为 $n = \frac{4}{3}$ ，请根据运动员的实际身高估算该游泳池的水深 $h$ ，（结果保留两位有效数字）

题型：未知
难度：未知

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如图所示，轻弹簧一端连于固定点 $O$ ，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球 $P$ ,其质量 $m = 2 \times 10^{- 2} k g$ ,电荷量 $q = 0.2 C$ .将弹簧拉至水平后，以初速度 $V_{0} = 20 m / s$ 竖直向下射出小球 $P$ ,小球 $P$ 到达 $O$ 点的正下方 $O_{1}$ 点时速度恰好水平，其大小 $V = 15 m / s$ .若 $O$ 、 $O_{1}$ 相距 $R = 1.5 m,$ 小球 $P$ 在 $O_{1}$ 点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量 $M = 1.6 \times 10^{- 1} k g$ 的静止绝缘小球 $N$ 相碰。碰后瞬间，小球 $P$ 脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度 $B = 1 T$ 的匀强磁场。此后，小球 $P$ 在竖直平面内做半径 $r = 0.5 m$ 的圆周运动。小球 $P$ 、 $N$ 均可视为质点，小球 $P$ 的电荷量保持不变，不计空气阻力，取 $g = 10 m / s^{2}$ 。那么，

（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？

（2）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度。

(3)若题中各量为变量，在保证小球 $P$ 、 $N$ 碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r的表达式(要求用 $B$ 、 $q$ 、 $m$ 、 $θ$ 表示，其中 $θ$ 为小球N的运动速度与水平方向的夹角)。

题型：未知
难度：未知

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