已知是定义在1,1上的奇函数，且，若任意的，当时，总有．（1

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，当时，总有．
（1）、判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）、解不等式：；
（3）、若对所有的恒成立，其中（是常数），求实数的取值范围．

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已知曲线 $C : y = x^{2}$ 与直线 $l : x - y + 2 = 0$ 交于两点 $A (x_{A}, y_{A})$ 和 $B (x_{B}, y_{B})$ ，且 $x_{A} < x_{B}$ ．记曲线 $C$ 在点 $A$ 和点 $B$ 之间那一段 $L$ 与线段 $AB$ 所围成的平面区域（含边界）为 $D$ ．设点 $P (s, t)$ 是 $L$ 上的任一点，且点 $P$ 与点 $A$ 和点 $B$ 均不重合．

（１）若点 $Q$ 是线段 $AB$ 的中点，试求线段 $PQ$ 的中点 $M$ 的轨迹方程；

（２）若曲线 $G : x^{2} - 2 ax + y^{2} - 4 y + a^{2} + \frac{51}{25} = 0$ 与点 $D$ 有公共点，试求 $a$ 的最小值．

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如下图，已知正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为２，点Ｅ是正方形 $BC C_{1} B_{1}$ 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱 $C_{1} D_{1}, A A_{1}$ 的中点．设点 $E_{1}, G_{1}$ 分别是点Ｅ，Ｇ在平面 $DC C_{1} D_{1}$ 内的正投影．

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形 $FGAE$ 在平面 $DC C_{1} D_{1}$ 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（２）证明：直线 $F G_{1} ⊥ 平面 FE E_{1}$ ；

（３）求异面直线 $E_{1} G_{1} 与 EA$ 所成角的正弦值.

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根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

对某城市一年（ 365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间 $[0, 50], (50, 100], (100, 150], (150, 200], (200, 250], (250, 300]$ 进行分组，得到频率分布直方图如下图.

（1）求直方图中 $x$ 的值；

（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

（3）求该城市某一周至少有 2天的空气质量为良或轻微污染的概率.

(结果用分数表示．已知 $5^{7} = 78125, 2^{7} = 128, \frac{3}{1825} + \frac{2}{365} + \frac{7}{1825} + \frac{3}{1825} + \frac{8}{9125} = \frac{123}{9125}, 365 = 73 \times 5$ ）

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已知向量 $a = (\sin θ, - 2) 与 b = (1, \cos θ)$ 互相垂直，其中 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ．

（1）求 $\sin θ 和 \cos θ$ 的值；

（2）若 $\sin (θ - φ) = \frac{\sqrt{10}}{10}, 0 < φ < \frac{π}{2}$ ，求 $\cos φ$ 的值．

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已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 py (p > 0)$ 上一点 $A (m, 4)$ 到其焦点的距离为 $\frac{17}{4}$ .

（Ⅰ）求 p于 m的值；

（Ⅱ）设抛物线C上一点 p的横坐标为 t（ t>0）,过 p的直线交C于另一点 Q，交 x轴于 M点，过点 Q作 PQ的垂线交 C于另一点 N.若 MN是 C的切线，求 t的最小值;

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