计算:
为了庆祝中国共产党建党100周年,某校开展了学党史知识竞赛.参加知识竞赛的学生分为甲乙两组,每组学生均为20名,赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表(如图),已知竞赛成绩满分为100分,统计表中 a , b 满足 b = 2 a .请根据所给信息,解答下列问题:
甲组20名学生竞赛成绩统计表
成绩(分 )
70
80
90
100
人数
3
a
b
5
(1)求统计表中 a , b 的值;
(2)小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是: ( 70 + 80 + 90 + 100 ) ÷ 4 = 85 (分 ) .根据所学统计知识判断小明的计算是否正确,若不正确,请写出正确的算式并计算出结果;
(3)如果依据平均成绩确定竞赛结果,那么竞赛成绩较好的是哪个组?请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = − x 2 + 4 x 经过坐标原点,与 x 轴正半轴交于点 A ,点 M ( m , n ) 是抛物线上一动点.
(1)如图1,当 m > 0 , n > 0 ,且 n = 3 m 时,
①求点 M 的坐标;
②若点 B ( 15 4 , y ) 在该抛物线上,连接 OM , BM , C 是线段 BM 上一动点(点 C 与点 M , B 不重合),过点 C 作 CD / / MO ,交 x 轴于点 D ,线段 OD 与 MC 是否相等?请说明理由;
(2)如图2,该抛物线的对称轴交 x 轴于点 K ,点 E ( x , 7 3 ) 在对称轴上,当 m > 2 , n > 0 ,且直线 EM 交 x 轴的负半轴于点 F 时,过点 A 作 x 轴的垂线,交直线 EM 于点 N , G 为 y 轴上一点,点 G 的坐标为 ( 0 , 18 5 ) ,连接 GF .若 EF + NF = 2 MF ,求证:射线 FE 平分 ∠ AFG .
如图,已知 ΔABC 是等边三角形, P 是 ΔABC 内部的一点,连接 BP , CP .
(1)如图1,以 BC 为直径的半圆 O 交 AB 于点 Q ,交 AC 于点 R ,当点 P 在 QR ̂ 上时,连接 AP ,在 BC 边的下方作 ∠ BCD = ∠ BAP , CD = AP ,连接 DP ,求 ∠ CPD 的度数;
(2)如图2, E 是 BC 边上一点,且 EC = 3 BE ,当 BP = CP 时,连接 EP 并延长,交 AC 于点 F ,若 7 AB = 4 BP ,求证: 4 EF = 3 AB ;
(3)如图3, M 是 AC 边上一点,当 AM = 2 MC 时,连接 MP .若 ∠ CMP = 150 ° , AB = 6 a , MP = 3 a , ΔABC 的面积为 S 1 , ΔBCP 的面积为 S 2 ,求 S 1 − S 2 的值(用含 a 的代数式表示).
如图,在锐角三角形 ABC 中, AD 是 BC 边上的高,以 AD 为直径的 ⊙ O 交 AB 于点 E ,交 AC 于点 F ,过点 F 作 FG ⊥ AB ,垂足为 H ,交 AE ̂ 于点 G ,交 AD 于点 M ,连接 AG , DE , DF .
(1)求证: ∠ GAD + ∠ EDF = 180 ° ;
(2)若 ∠ ACB = 45 ° , AD = 4 , tan ∠ ABC = 2 ,求 HF 的长.
小刚家到学校的距离是1800米.某天早上,小刚到学校后发现作业本忘在家中,此时离上课还有20分钟,于是他立即按原路跑步回家,拿到作业本后骑自行车按原路返回学校.已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟,且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍.
(1)求小刚跑步的平均速度;
(2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟,他能否在上课前赶回学校?请说明理由.