用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图 ．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为 （单位： ，如果在离水面竖直距离为 （单位： 的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离） （单位： 与 的关系式为 ．
应用思考：现用高度为 的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离 处开一个小孔．
（1）写出 与 的关系式；并求出当 为何值时，射程 有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 ， ，要使两孔射出水的射程相同，求 ， 之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加 ，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
如图，在 中， ，将 沿直线 翻折得到 ，连接 交 于点 ． 是线段 上的点，连接 ． 是 的外接圆与 的另一个交点，连接 ， ．
（1）求证： 是直角三角形；
（2）求证： ；
（3）当 ， 时，在线段 上存在点 ，使得 和 互相平分，求 的值．
新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
参与度 人数 方式 |
|
|
|
|
录播 |
4 |
16 |
12 |
8 |
直播 |
2 |
10 |
16 |
12 |
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．
（2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？
（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为 ，估计参与度在0.4以下的共有多少人？
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