设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

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如图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $D$ 在椭圆上， $D F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $\frac{|F_{1} F_{2}|}{|D F_{1}|} = 2 \sqrt{2}$ ， $△ D F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设圆心在 $y$ 轴上的圆与椭圆在 $x$ 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..

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已知函数 $f (x) = a e^{2 x} - b e^{- 2 x} - c x (a, b, c \in R)$ 的导函数 $f ` (x)$ 为偶函数，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线的斜率为 $4 - c$ .
（1）确定 $a, b$ 的值；
（2）若 $c = 3$ ，判断 $f (x)$ 的单调性；
（3）若 $f (x)$ 有极值，求 $c$ 的取值范围.

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形, $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ , $A B = 2, ∠ B A D = \frac{π}{3}, M$ 为 $B C$ 上一点，且 $B M = \frac{1}{2}, M P ⊥ A P$ .
（1）求 $P O$ 的长；
（2）求二面角 $A - P M - C$ 的正弦值.

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一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
（2） $X$ 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求 $X$ 的分布列与数学期望.
（注：若三个数 $a, b, c$ 满足 $a \leq b \leq c$ ，则称 $b$ 为这三个数的中位数）.

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已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) (ω > 0, - \frac{π}{2} \leq φ \leq \frac{π}{2})$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.
（1）求 $ω$ 和 $φ$ 的值；
（2）若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{π}{6} < α < \frac{2 π}{3})$ ，求 $\cos (α + \frac{3 π}{2})$ 的值.

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