如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结

（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
（2）若四边形的面积为求直线的函数关系式；
（3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

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某种型号汽车油箱容量为 $40 L$ ，每行驶 $100 km$ 耗油 $10 L$ ．设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为 $x (km)$ ，行驶过程中油箱内剩余油量为 $y (L)$ ．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的 $\frac{1}{4}$ ，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程．

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（1）求甲选择 $A$ 电影的概率；

（2）求甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）．

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如图，在 $▱ ABCD$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $CB$ 、 $AD$ 的延长线上，且 $BE = DF$ ， $EF$ 分别与 $AB$ 、 $CD$ 交于点 $G$ 、 $H$ ．求证： $AG = CH$ ．

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某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记 $m$ 分 $(60 ⩽ m ⩽ 100)$ ，组委会从1000篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了它们的成绩，并绘制了如图不完整的两幅统计图表．

征文比赛成绩频数分布表

分数段	频数	频率
$60 ⩽ m < 70$	38	0.38
$70 ⩽ m < 80$	$a$	0.32
$80 ⩽ m < 90$	$b$	$c$
$90 ⩽ m ⩽ 100$	10	0.1
合计		1

请根据以上信息，解决下列问题：

（1）征文比赛成绩频数分布表中 $c$ 的值是　　；

（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图；

（3）若80分以上（含80分）的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数．

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如图①，直线 $l$ 表示一条东西走向的笔直公路，四边形 $ABCD$ 是一块边长为100米的正方形草地，点 $A$ ， $D$ 在直线 $l$ 上，小明从点 $A$ 出发，沿公路 $l$ 向西走了若干米后到达点 $E$ 处，然后转身沿射线 $EB$ 方向走到点 $F$ 处，接着又改变方向沿射线 $FC$ 方向走到公路 $l$ 上的点 $G$ 处，最后沿公路 $l$ 回到点 $A$ 处．设 $AE = x$ 米（其中 $x > 0)$ ， $GA = y$ 米，已知 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系如图②所示，

（1）求图②中线段 $MN$ 所在直线的函数表达式；

（2）试问小明从起点 $A$ 出发直至最后回到点 $A$ 处，所走过的路径（即 $ΔEFG)$ 是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应 $x$ 的值；如果不可以，说明理由．

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