煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A．B两厂，通过了解获得A．B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t•km”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：

厂别	运费（元/t•km）	路程（km）	需求量（t）
A	0.45	200	不超过600
B	a（a为常数）	150	不超过800

（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含a的代数式表示）

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如图，点B，F，C，E在同一条直线上， $B F ＝ E C$ ， $A B ＝ D E$ ， $∠ B ＝ ∠ E$ ．求证： $∠ A ＝ ∠ D$ ．

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在平面直角坐标系xOy中，已知点 $M （ a ， b ）$ ，N．

对于点P给出如下定义：将点P向右 $（ a \geq 0 ）$ 或向左 $（ a ＜ 0 ）$ 平移 $| a |$ 个单位长度，再向上 $（ b \geq 0 ）$ 或向下 $（ b ＜ 0 ）$ 平移 $| b |$ 个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．

（1）如图，点 $M （ 1 ， 1 ）$ ，点N在线段OM的延长线上．若点 $P （ ﹣ 2 ， 0 ）$ ，点Q为点P的“对应点”．

①在图中画出点Q；

②连接PQ，交线段ON于点T，求证： $N T = \frac{1}{2} O M$ ；

（2）⊙O的半径为 $1$ ，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且 $O N ＝ t （ \frac{1}{2} ＜ t ＜ 1 ）$ ，若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．

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在△ABC中， $∠ A C B ＝ 90 °$ ，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得 $C E ＝ D C$ ．

（1）如图1，延长BC到点F，使得 $C F ＝ B C$ ，连接AF，EF．若 $A F ⊥ E F$ ，求证： $B D ⊥ A F$ ；

（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若 $A B^{2} ＝ A E^{2} + B D^{2}$ ，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $（ 1 ， m ），（ 3 ， n ）$ 在抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x + c （ a ＞ 0 ）$ 上，设抛物线的对称轴为直线 $x ＝ t$ ．

（1）当 $c ＝ 2 ， m ＝ n$ 时，求抛物线与 $y$ 轴交点的坐标及 $t$ 的值；

（2）点 $（ x_{0} ， m ）（ x_{0} \neq 1 ）$ 在抛物线上．若 $m ＜ n ＜ c$ ，求 $t$ 的取值范围及 $x_{0}$ 的取值范围．

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单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 $y$ （单位： $m$ ）与水平距离 $x$ （单位： $m$ ）近似满足函数关系 $y ＝ a （ x ﹣ h ）^{2} + k （ a ＜ 0 ）$ ．

某运动员进行了两次训练．

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离 $x$ 与竖直高度 $y$ 的几组数据如下：

水平距离 $x / m$	$0$	$2$	$5$	$8$	$11$	$14$
竖直高度 $y / m$	$20.00$	$21.40$	$22.75$	$23.20$	$22.75$	$21.40$

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 $y ＝ a （ x ﹣ h ）^{2} + k （ a ＜ 0 ）$ ；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度 $y$ 与水平距离 $x$ 近似满足函数关系 $y ＝ ﹣ 0.04 （ x ﹣ 9 ）^{2} + 23.24$ ．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为 $d_{1}$ ，第二次训练的着陆点的水平距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1}$ ＿＿＿＿＿ $d_{2}$ （填“＞”“＝”或“＜”）．

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