数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形
的边长为
，
为边
延长线上的一点，
为
的中点，的垂直平分线交边
于
，交边
的延长线于
.当
时，
与
的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于
，
，如图
，则可得：
，因为
，所以
.可求出
和
的值，进而可求得与的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了
的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.
奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了多少名学生？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用 ， ， ， ， 表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．
如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，顶点为 ，连接 ， ， 与抛物线的对称轴 交于点 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 是第一象限内抛物线上的动点，连接 ， ，当 时，求点 的坐标；
（3）点 是对称轴 右侧抛物线上的动点，在射线 上是否存在点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，连接 ．现将 绕点 顺时针方向旋转，旋转角为 ，如图2，连接 ， ， ．
（1）当 时，求证： ；
（2）如图3，当 时，延长 交 于点 ，求证： 垂直平分 ；
（3）在旋转过程中，求 的面积的最大值，并写出此时旋转角 的度数．
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