如图，在平面直角坐标系 $xOy$中，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$．已知 $(1,e)$和 $(e,\frac{\sqrt{3}}{2})$都在椭圆上，其中 $e$为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；
（2）设 $A,B$是椭圆上位于 $x$轴上方的两点，且直线 $A{F}_1$与直线 $B{F}_2$平行， $A{F}_2$与 $B{F}_1$交于点 $P$．
（i）若 $A{F}_1=B{F}_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$，求直线 $A{F}_1$的斜率；
（ii）求证： $P{F}_1+P{F}_2$是定值．