某校初三所有学生参加2012年初中毕业英语口语、听力自动化考

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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某校初三所有学生参加2012年初中毕业英语口语、听力自动化考试，现从中随机抽取了部分学生的考试成绩，进行统计后分为A、B、C、D四个等级，并将统计结果绘制成如下的统计图. 请你结合图中所提供的信息，解答下列问题：(说明：A级:25分～30分；B级:20分～24分；C级:15分～19分；D级:15分以下)

(1)请把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中D级所占的百分比是_______；
(3)扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是________；
(4)若该校初三共有850名学生，试估计该年级A级和B级的学生共约为多少人

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如图， $C$ 是线段 $AB$ 的中点， $CD = BE$ ， $CD / / BE$ ．求证： $∠ D = ∠ E$ ．

题型：未知
难度：未知

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如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 经过 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 、 $C (0, - 3)$ 三点，直线 $l$ 是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点 $P$ 是直线 $l$ 上的一个动点，当点 $P$ 到点 $A$ 、点 $C$ 的距离之和最短时，求点 $P$ 的坐标；

（3）点 $M$ 也是直线 $l$ 上的动点，且 $ΔMAC$ 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 $M$ 的坐标．

题型：未知
难度：未知

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如图，已知四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $A$ 是 $\hat{BDC}$ 的中点， $AE ⊥ AC$ 于 $A$ ，与 $⊙ O$ 及 $CB$ 的延长线交于点 $F$ 、 $E$ ，且 $\hat{BF} = \hat{AD}$ ．

（1）求证： $ΔADC ∽ ΔEBA$ ；

（2）如果 $AB = 8$ ， $CD = 5$ ，求 $\tan ∠ CAD$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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阅读下列材料并回答问题：

材料1：如果一个三角形的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么三角形的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ． ①

古希腊几何学家海伦 $(Heron$ ，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．

我国南宋数学家秦九韶（约 $1202 - -$ 约 $1261)$ ，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ． ②

下面我们对公式②进行变形： $\sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]} = \sqrt{{(\frac{1}{2} ab)}^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4})}^{2}} = \sqrt{(\frac{1}{2} ab + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}) (\frac{1}{2} ab - \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4})} = \sqrt{\frac{2 ab + a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4} \cdot \frac{2 ab - a^{2} - b^{2} + c^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{{(a + b)}^{2} - c^{2}}{4} \cdot \frac{c^{2} - {(a - b)}^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{a + b + c}{2} \cdot \frac{a + b - c}{2} \cdot \frac{a + c - b}{2} \cdot \frac{b + c - a}{2}} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．

这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦 $- -$ 秦九韶公式．

问题：如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = 13$ ， $BC = 12$ ， $AC = 7$ ， $⊙ O$ 内切于 $ΔABC$ ，切点分别是 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ．

（1）求 $ΔABC$ 的面积；

（2）求 $⊙ O$ 的半径．

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在创建“全国文明城市”和“省级文明城区”过程中，栾城区污水处理厂决定先购买 $A$ 、 $B$ 两型污水处理设备共20台，对城区周边污水进行处理．已知每台 $A$ 型设备价格为12万元，每台 $B$ 型设备价格为10万元；1台 $A$ 型设备和2台 $B$ 型设备每周可以处理污水640吨，2台 $A$ 型设备和3台 $B$ 型设备每周可以处理污水1080吨．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？

（2）要想使污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，但每周处理污水的量又不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？

题型：未知
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