某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为，且不同种产品是否受欢迎相互独立.记为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为

（Ⅰ）求该公司至少有一种产品受欢迎的概率；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求数学期望.

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已知矩阵 $A = [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}]$ ， $B = [\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix}]$ ，求矩阵 $A^{- 1} B$ .

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$A B$ 、 $B C$ 分别与圆 $O$ 相切于 $D$ 、 $C$ ， $A C$ 经过圆心 $O$ ，且 $B C = 2 O C$ ，求证： $A C = 2 A D$ .

题型：未知
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设函数 $f (x) = \ln x - a x, g (x) = e^{x} - a x$ ,其中 $a$ 为实数.

（1）若 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上是单调减函数,且 $g (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上有最小值,求 $a$ 的取值范围；
（2）若 $g (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上是单调增函数,试求 $f (x)$ 的零点个数,并证明你的结论.

题型：未知
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设 ${a_{n}}$ 是首项为 $a$ ，公差为 $d$ 的等差数列（ $d \neq 0$ ）， $S_{n}$ 是前 $n$ 项和. 记 $b_{n} = \frac{n S_{n}}{n^{2} + c}$ ， $n \in N^{+}$ ，其中 $c$ 为实数.
（1）若 $c = 0$ ，且 $b_{1}, b_{2}, b_{4}$ 成等比数列，证明： $S_{n k} = n^{2} S_{k} (k, n \in N^{+})$ ；
（2）若 ${b_{n}}$ 是等差数列，证明 $c = 0$ .

题型：未知
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如图，旅客从某旅游区的景点 $A$ 处下山至 $C$ 处有两种路径.一种是从 $A$ 沿直线步行到 $C$ ，另一种从 $A$ 沿索道乘缆车到 $B$ ，然后从 $B$ 沿直线步行到 $C$ .现有甲、乙两位游客从 $A$ 处下山，甲沿 $A C$ 匀速步行，速度为50 $m / m i n$ ，在甲出发2 $m i n$ 后，乙从 $A$ 乘缆车到 $B$ ，在 $B$ 处停留1 $m i n$ 后，再从 $B$ 匀速步行到 $C$ . 假设缆车匀速直线运动的速度为130 $m / m i n$ ，山路 $A C$ 长1260 $m$ ，经测量， $\cos A = \frac{12}{13}, \cos C = \frac{3}{5}$ .

（1）求索道 $A B$ 的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在 $C$ 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

题型：未知
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