在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线经过点A（,4）

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在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线经过点A（,4）,且与轴相交于点C. 点B在轴上，且. △ABC的面积为S.
求m的取值范围;
求S关于m的函数关系式;
设点B在轴的正半轴上，当S取得最大值时，将△ABC沿AC折叠得到，求点的坐标.

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已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．

（1）如图1，若 $C O ⊥ A B$ ， $∠ D ＝ 30 ° ， O A ＝ 1$ ，求AD的长；

（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且 $∠ A C D ＝ ∠ A C E$ ．求证： $C E ⊥ A B$ ．

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观察以下等式：

第1个等式： $（ 2 \times 1 + 1 ）^{2} ＝（ 2 \times 2 + 1 ）^{2} ﹣ （ 2 \times 2 ）^{2}$ ，

第2个等式： $（ 2 \times 2 + 1 ）^{2} ＝（ 3 \times 4 + 1 ）^{2} ﹣ （ 3 \times 4 ）^{2}$ ，

第3个等式： $（ 2 \times 3 + 1 ）^{2} ＝（ 4 \times 6 + 1 ）^{2} ﹣ （ 4 \times 6 ）^{2}$ ，

第4个等式： $（ 2 \times 4 + 1 ）^{2} ＝（ 5 \times 8 + 1 ）^{2} ﹣ （ 5 \times 8 ）^{2}$ ，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：＿＿＿＿＿＿＿＿；

（2）写出你猜想的第 $n$ 个等式（用含 $n$ 的式子表示），并证明．

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某地区2020年进出口总额为 $520 亿$ 元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了 $25 %$ ，出口额增加了 $30 %$ ．

注：进出口总额＝进口额+出口额．

（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含 $x ， y$ 的代数式填表：

（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了 $140 亿$ 元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？

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已知二次函数图象的顶点坐标为 $A （ 1 ， 4 ）$ ，且与x轴交于点 $B （ ﹣ 1 ， 0 ）$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点 $P （ m ， 0 ）$ 旋转 $180 °$ ，此时点A、B的对应点分别为点C、D．

①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；

②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，平行四边形ABCD中， $A B ＝ 5 ， B C ＝ 10$ ，BC边上的高 $A M ＝ 4$ ，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．

（1）求证： $△ A B M ∽ △ E B F$ ；

（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；

（3）设 $B E ＝ x$ ，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

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