已知,如图,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧)

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

已知,如图,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称

求、两点坐标,并证明点在直线上
求二次函数解析式;
过点作直线∥交直线于点,、N分别为直线和直线上的两个动点,连接、、,求和的最小值.

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解方程： $\frac{x}{2 x - 3} + \frac{5}{3 x - 2} = 4$ ．

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下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

小明：如图1， $(1)$ 分别在射线OA，OB上截取 $OC = OD$ ， $OE = OF ($ 点C，E不重合 $)$ ； $(2)$ 分别作线段CE，DF的垂直平分线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，交点为P，垂足分别为点G，H； $(3)$ 作射线OP，射线即为 $∠ AOB$ 的平分线．

简述理由如下：

由作图知， $∠ PGO = ∠ PHO = 90 °$ ， $OG = OH$ ， $OP = OP$ ，所以 $Rt △ PGO$ ≌ $Rt △ PHO$ ，则 $∠ POG = ∠ POH$ ，即射线OP是 $∠ AOB$ 的平分线．

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2， $(1)$ 分别在射线OA，OB上截取 $OC = OD$ ， $OE = OF ($ 点C，E不重合 $)$ ； $(2)$ 连接DE，CF，交点为P； $(3)$ 作射线 $OP .$ 射线OP即为 $∠ AOB$ 的平分线．

$\dots \dots$

任务：

$(1)$ 小明得出 $Rt △ PGO$ ≌ $Rt △ PHO$ 的依据是______ $($ 填序号 $)$ ．

$①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL$

$(2)$ 小军作图得到的射线0P是 $∠ AOB$ 的平分线吗？请判断并说明理由．

$(3)$ 如图3，已知 $∠ AOB = 60 °$ ，点E，F分别在射线OA，OB上，且 $OE = OF = \sqrt{3} + 1 .$ 点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且 $OC = OD$ ，连接DE，CF，交点为P，当 $∠ CPE = 30 °$ 时，直接写出线段OC的长．

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如图，抛物线 $y = x^{2} + mx$ 与直线 $y = - x + b$ 相交于点 $A (2, 0)$ 和点 $B$ ．

（1）求 $m$ 和 $b$ 的值；

（2）求点 $B$ 的坐标，并结合图象写出不等式 $x^{2} + mx > - x + b$ 的解集；

（3）点 $M$ 是直线 $AB$ 上的一个动点，将点 $M$ 向左平移3个单位长度得到点 $N$ ，若线段 $MN$ 与抛物线只有一个公共点，直接写出点 $M$ 的横坐标 $x_{M}$ 的取值范围．

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