已知,如图,二次函数
图象的顶点为
,与
轴交于
、
两点(在点右侧),点、关于直线
:
对称
求
、两点坐标,并证明点
在直线上求二次函数解析式;
过点
作直线
∥
交直线
于
点,
、N分别为直线和直线上的两个动点,连接
、
、
,求
和的最小值.
如图，平面直角坐标系中，线段 的端点为 ．
（1）求 所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：
在函数 中，分别输入 和 的值，使得到射线 ，其中 ．当 时，会从C处弹出一个光点 ，并沿 飞行；当 时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点 弹出，试推算 应满足的数量关系；
②当有光点 弹出，并击中线段 上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段 就会发光．求此时整数 的个数．
如图，某水渠的横断面是以 为直径的半圆 ，其中水面截线 ．嘉琪在 处测得垂直站立于 处的爸爸头顶 的仰角为 ，点 的俯角为 ．已知爸爸的身高为 ．
（1）求 的大小及 的长；
（2）请在图中画出线段 ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．
（参考数据： 取 ， 取 ）
如图，点 在抛物线 上，且在 的对称轴右侧．
（1）写出 的对称轴和 的最大值，并求 的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点 及 的一段，分别记为 ．平移该胶片，使 所在抛物线对应的函数恰为 ．求点 移动的最短路程．
发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如， 为偶数．请把 的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为 ，请论证“发现”中的结论正确．
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