已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点。
①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；
②已知点，求证：为定值

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如图，椭圆的中心为原点 $O$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，一条准线的方程为 $x = 2 \sqrt{2}$

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设动点P满足 $\overset{⇀}{O P} = \overset{⇀}{O M} + 2 \overset{⇀}{O N}$ ，其中 $M, N$ 是椭圆上的点．直线 $O M$ 与 $O N$ 的斜率之积为-0.5．问：是否存在两个定点 $F_{1}, F_{2}$ ，使得 $|P F_{1}| + |P F_{2}|$ 为定值．若存在，求 $F_{1}, F_{2}$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程．
（Ⅱ）设 $g (x) = f ` (x) e^{- x}$ ．求函数 $g (x)$ 的极值．

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