已知数列满足如图所示的程序框图.(Ⅰ) 写出当时输出的结果;(Ⅱ) 写出数列的一个递推关系式,并证明:是等比数列;(Ⅲ)求的通项公式及前项和.
对于定义域为 R 的函数 g x ,若存在正常数 T ,使得 cos g x 是以 T 为周期的函数,则称 g x 为余弦周期函数,且称 T 为其余弦周期.已知 f x 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数,其值域为.设 f x 单调递增, f 0 = 0 , f T = 4 π . (1)验证 h x = x + sin x 3 是以 6 π 为周期的余弦周期函数; (2)设 a < b .证明对任意 c ∈ f a , f b ,存在 x 0 ∈ a , b ,使得 f x 0 = c ; (3)证明:" u 0 为 cos f x = 1 在 0 , T 上得解"的充要条件是" u 0 + T 为方程 cos f x = 1 在 T , 2 T 上有解",并证明对任意 x ∈ 0 , T 都有 f x + T = f x + f T .
已知数列 { a n } 与 { b n } 满足 a n + 1 - a n = 2 ( b n + 1 - b n ) , n ∈ N + . (1)若 b n = 3 n + 5 ,且 a 1 = 1 ,求数列 { a n } 的通项公式; (2)设 { a n } 的第 n 0 项是最大项,即 a n 0 > a n ( n ∈ N + ) ,求证:数列 { b n } 的第 n 0 项是最大项; (3)设 a 1 = λ < 0 , b n = λ n ( n ∈ N + ) ,求 λ 的取值范围,使得 { a n } 有最大值 M 与最小值 m ,且 M m ∈ ( - 2 , 2 ) .
已知椭圆 x 2 + 2 y 2 = 1 ,过原点的两条直线 l 1 和 l 2 分别于椭圆交于 A , B 和 C , D ,记得到的平行四边形 A B C D 的面积为 S . (1)设 A ( x 1 , y 1 ) , C ( x 2 , y 2 ) ,用 A , C 的坐标表示点 C 到直线 l 1 的距离,并证明 S = 2 x 1 y 1 - x 2 y 2 ; (2)设 l 1 与 l 2 的斜率之积为 - 1 2 ,求面积 S 的值.
如图, O , P , Q 三地有直道相通, O P = 5 千米, P Q = 3 千米, O Q = 4 千米.现甲、乙两警员同时从 O 地出发匀速前往 Q 地,经过 t 小时,他们之间的距离为 f t (单位:千米).甲的路线是 O Q ,速度为5千米/小时,乙的路线是 OP Q ,速度为8千米/小时.乙到达 B 地后原地等待.设 t = t 1 时乙到达 Q 地.
(1)求 t 1 与 f t 1 的值; (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 t 1 ≤ t ≤ 1 时,求 f t 的表达式,并判断 f t 在 t 1 , 1 上得最大值是否超过3?说明理由.
如图,在长方体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中, A A 1 = 1 , A B = A D = 2 , E , F ,分别是 A B , B C 的中点.证明 A 1 , C 1 , F , E 四点共面,并求直线 C D 1 与平面 A 1 C 1 F E 所成的角的大小.