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先化简，再求值： $(\frac{a + 2}{a^{2} - 2 a} + \frac{1 - a}{a^{2} - 4 a + 4}) \div \frac{a - 4}{a}$ ，其中 $a = {(π - \sqrt{3})}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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先化简，再求值： $(\frac{x}{x^{2} + x} - 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{8} - 4 \sin 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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如图，正方形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是边 $BC$ ， $CD$ 上的动点（不与点 $B$ ， $C$ ， $D$ 重合）， $AM$ ， $AN$ 分别交 $BD$ 于点 $E$ ， $F$ ，且 $∠ MAN$ 始终保持 $45 °$ 不变．

（1）求证： $\frac{AF}{AM} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

（2）求证： $AF ⊥ FM$ ；

（3）请探索：在 $∠ MAN$ 的旋转过程中，当 $∠ BAM$ 等于多少度时， $∠ FMN = ∠ BAM$ ？写出你的探索结论，并加以证明．

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已知，点 $M$ 是二次函数 $y = a x^{2} (a > 0)$ 图象上的一点，点 $F$ 的坐标为 $(0, \frac{1}{4 a})$ ，直角坐标系中的坐标原点 $O$ 与点 $M$ ， $F$ 在同一个圆上，圆心 $Q$ 的纵坐标为 $\frac{1}{8}$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）当 $O$ ， $Q$ ， $M$ 三点在同一条直线上时，求点 $M$ 和点 $Q$ 的坐标；

（3）当点 $M$ 在第一象限时，过点 $M$ 作 $MN ⊥ x$ 轴，垂足为点 $N$ ，求证： $MF = MN + OF$ ．

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如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 ax + 1$ 与 $x$ 轴仅有一个公共点 $A$ ，经过点 $A$ 的直线交该抛物线于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，且点 $C$ 是线段 $AB$ 的中点．

（1）求这条抛物线对应的函数解析式；

（2）求直线 $AB$ 对应的函数解析式．

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