某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为1,

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的卡片各2张，让孩子从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用X表示取出的3张卡片上的最大数字.
(I)求取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
(II)求随机变量x的分布列及数学期望；
(III)若孩子取出的卡片的计分超过30分，就得到奖励，求孩子得到奖励的概率.

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已知函数 $f (x) = |x + a| + |x - 2|$ .
(Ⅰ)当 $a = - 3$ 时，求不等式 $f (x) ⩾ 3$ 的解集；
(Ⅱ) 若 $f (x) ⩽ |x - 4|$ 的解集包含 $[1, 2]$ ，求 $a$ 的取值范围.

题型：未知
难度：未知

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已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 2 \cos φ \\ y = 3 \sin φ \end{matrix}$ （ $φ$ 是参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ :的极坐标方程是 $ρ = 2$ ，正方形 $A B C D$ 的顶点都在 $C_{2}$ 上，且 $A, B, C, D$ 依逆时针次序排列，点 $A$ 的极坐标为 $(2, \frac{π}{3})$ .
(Ⅰ)求点 $A, B, C, D$ 的直角坐标；
(Ⅱ)设P为 $C_{1}$ 上任意一点，求 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} + {|P C|}^{2} + {|P D|}^{2}$ 的取值范围.

题型：未知
难度：未知

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如图， $D, E$ 分别是 $△ A B C$ 边 $A B, A C$ 的中点，直线 $D E$ 交 $△ A B C$ 的外接圆与 $F, G$ 两点，若 $C F / / A B$ ，证明：

(Ⅰ) $C D = B C$ ;
(Ⅱ) $△ B C D \approx △ G B D$ .

题型：未知
难度：未知

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设抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l, A$ 为 $C$ 上一点，已知以 $F$ 为圆心， $F A$ 为半径的圆 $F$ 交 $l$ 于 $B$ , $D$ 两点.
(Ⅰ)若 $∠ B F D = 90^{°}$ , $∆ A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程；
(Ⅱ)若 $A, B, F$ 三点在同一条直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点，求坐标原点到 $m, n$ 距离的比值.

题型：未知
难度：未知

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如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱垂直底面， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $A C = B C = A A_{1}$ ， $D$ 是棱 $A A_{1}$ 的中点。

(Ｉ) 证明：平面 $B D C_{1} ⊥$ 平面 $B D C$

（Ⅱ）平面 $B D C_{1}$ 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

题型：未知
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