(12分)甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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(12分)甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60^o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？

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水库的蓄水量随时间而变化，现用 $t$ 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为
$V (t)$ = $\{\begin{cases} (- t^{2} + 14 t - 40) e^{\frac{1}{t}} + 50, 0 < t \leq 10 \\ 4 (t - 10) (3 t - 41) + 50, 10 < t \leq 12 \end{cases}$ 。
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期，以 $i - 1 < t$ , $t$ 表示第1月份（ $i$ =1,2,…,12），同一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 $e$ =2.7计算）

题型：未知
难度：未知

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如图，在以点 $O$ 为圆心， $(A B) = 4$ 为直径的半圆 $A D B$ 中， $O D ⊥ A B$ ， $P$ 是半圆弧上一点， $∠ P O B = 30^{°}$ ，曲线 $C$ 是满足 $((M A) - (M B))$ 为定值的动点 $M$ 的轨迹，且曲线 $C$ 过点 $P$ .

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设过点 $D$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于不同的两点 $E, F$ .若 $△ O E F$ 的面积不小于 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 斜率的取值范围.

题型：未知
难度：未知

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如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} B C ⊥$ 侧面 $A_{1} A B B_{1}$

$(I)$ 求证 $A B ⊥ C D$

$(I I)$ （若直线 $A C$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成的角为 $θ$ ，二面角 $A_{1} - B C - A$ 的大小为 $φ$ ，试判断 $θ$ 与 $φ$ 的大小关系，并予以证明。

题型：未知
难度：未知

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袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上 $n$ 号的有 $n$ 个（ $n$ =1,2,3,4）。现从袋中任取一球. $ξ$ 表示所取球的标号.
（Ⅰ）求 $ξ$ 的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若 $η = a ξ - b, E η = 1, D η = 11$ ，试求 $a, b$ 的值。

题型：未知
难度：未知

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已知函数f(t)= $f (t) = \sqrt{\frac{1 - t}{1 + t}}$ , $g (x) = c o s x \cdot f (s i n x) + s i n x \cdot f (c o s x)$ , $x \in (π, \frac{17 π}{12})$ .

（Ⅰ）将函数 $g (x)$ 化简成 $A \sin (ω x + φ) + B （ A ＞ 0 ， ω ＞ 0 ， φ \in [0 ， 2 π] ）$ 的形式；
（Ⅱ）求函数 $g (x)$ 的值域。

题型：未知
难度：未知

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