在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a<0)与x轴的正半轴交

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a >0)与x轴的正半轴交于点P．点Q的坐
标为(3，3)，=6．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过点Q且斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，求△AOB的面积

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A P = A B = 2, B C = 2 \sqrt{2}$ , $E, F$ 分别是 $A D, P C$ 的中点.

(1)证明： $P C ⊥$ 平面 $B E F$

(2)求平面 $B E F$ 与平面 $B A P$ 夹角的大小

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已知 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{1} = 1$ 且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成等比数列
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式
（2）求数列的前n项和

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数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 中， $a_{1} = a$ , $a_{n + 1}$ 是函数 $f_{n} (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} (3 a_{n} + n_{2}) x^{2} + 3 n^{2} a_{n} x$ 的极小值点.

（Ⅰ）当 $a = 0$ 时，求通项 $a_{n}$ ；
（Ⅱ）是否存在 $a$ ，使数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c (b, c \in R)$ ,对任意的 $x \in R$ ，恒有 $f^{`} (x) \leq f (x)$ .
（Ⅰ）证明：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq {(x + c)}^{2}$ ；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意 $b, c$ ,不等式 $f (c) - f (b) \leq M (c^{2} - b^{2})$ 恒成立，求 $M$ 的最小值.

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为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8 $k m$ 的 $A, B$ 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形,以过 $A, B$ 两点的直线为 $x$ 轴,线段 $A B$ 的的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系在直线 $x = 2$ 的右侧,考察范围为到点 $B$ 的距离不超过 $\frac{6 \sqrt{5}}{5} k m$ 区域;在直线 $x = 2$ 的左侧,考察范围为到 $A, B$ 两点的距离之和不超过 $4 \sqrt{5} k m$ 区域.

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（Ⅱ）如图所示,设线段 $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}$ 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2 $k m$ ,以后每年移动的距离为前一年的2倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.

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