本题满分13分)已知函数.(I)当时,求函数的单调区间;(II)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,问:m在什么范围取值时,对于任意的,函数在区间上总存在极值?
请先阅读: 在等式 cos 2 x = 2 cos 2 x - 1 ( x ∈ R ) 的两边求导,得: ( cos 2 x ) ` = ( 2 cos 2 x - 1 ) ` ,由求导法则,得 ( - sin 2 x ) 2 ` = 4 cos x ( - sin x ) ,化简得等式: sin 2 x = 2 cos x sin x . (1)利用上题的想法(或其他方法),结合等式 ( 1 + x ) n = C 0 n + C n 1 x + C n 2 x 2 + . . . + C n n x n  ( x ∈ R ,正整数 n ≥ 2 ),证明: n [ ( 1 + x ) n - 1 - 1 ] = ∑ k = 2 n k C n k x k - 1 (2)对于正整数 n ≥ 3 ,求证: (i) ∑ k = 1 n ( - 1 ) k k C n k = 0    (ii) ∑ k = 1 n ( - 1 ) k k 2 C n k = 0 ; (iii) ∑ k = 1 n 1 k + 1 C n k = 2 n - 1 - 1 n + 1
记动点P是棱长为 1 的正方体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 的对角线 B D 1 上一点,记 D 1 P D 1 B = λ 。当 ∠ A P C 为钝角时,求 λ 的取值范围.
A.选修4-1 几何证明选讲
如图,设 △ A B C 的外接圆的切线 A E 与 B C 的延长线交于点 E , ∠ B A C 的平分线与 B C 交于点 D .求证: E D 2 = E B · E C .
B.选修4-2 矩阵与变换
在平面直角坐标系 x O y 中,设椭圆 4 x 2 + y 2 = 1 在矩阵对应的变换作用下得到曲线 F ,求 F 的方程.
C.选修4-4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系 x O y 中,点 P ( x , y ) 是椭圆 x 2 3 + y 2 = 1 上的一个动点,求 S = x + y 的最大值.
D.选修4-5 不等式证明选讲
设 a , b , c 为正实数,求证: 1 a 3 + 1 b 3 + 1 c 3 + a b c ≥ 2 3 .
若 f 1 ( x ) = 3 x - p 1 , f 2 ( x ) = 3 x - p 2 , x ∈ R , p 1 , p 2 为常数,且 f ( x ) = { f 1 ( x ) , f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) f 2 ( x ) , f 1 ( x ) > f 2 ( x ) . (Ⅰ)求 f ( x ) = f 1 ( x ) 对所有的实数 x 成立的充要条件(用 p 1 , p 2 表示); (Ⅱ)设 a , b 为两实数, a < b 且 p 1 , p 2 ∈ ( a , b ) ,若 f ( a ) = f ( b ) ,求证: f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的单调增区间的长度和为 b - a 2 (闭区间 [ m , n ] 的长度定义为 n - m ).
(I)设 a 1 , a 2 , … a n 是各项均不为零的等差数列 n ≥ 4 ,且公差 d ≠ 0 ,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当 n = 4 时,求 a 1 d 的数值;②求 n 的所有可能值; (II)求证:对于一个给定的正整数 n ≥ 4 ,存在一个各项及公差都不为零的等差数列 b 1 , b 2 … … b n ,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列。