已知数列中,且数列的前n项和又设。(Ⅰ)求证:数列是等比数列;(II)求数列的通项及前n项和(III)求证:
如图,在四棱锥 P - A B C D 中, P A ⊥ 平面 A B C D , A C ⊥ A D , A B ⊥ B C , ∠ B A C = 45 ° , P A = A D = 2 , A C = 1 . (Ⅰ)证明 P C ⊥ A D ; (Ⅱ)求二面角 A - P C - D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 P A 上的点,满足异面直线 B E 与 C D 所成的角为 30 ° ,求 A E 的长.
现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率; (Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (Ⅲ)用 X , Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ = X - Y ,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 E ξ .
已知函数 f x = sin 2 x + π 3 + sin 2 x - π 3 + 2 cos 2 x - 1 , x ∈ R
(Ⅰ)求函数 f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f x 在区间 - π 4 , π 4 上的最大值和最小值.
设,分别是椭圆E:+=1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过的直线与E相交于A、B两点,且,,成等差数列。(1)求的周长(2)求的长 (3)若直线的斜率为1,求b的值。
(本小题14分)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形HEF斜边的两个端点,设AE=FB=xcm. (1)请用分别表示|GE|、|EH|的长 (2)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
H
(3)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.