数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题.下面我们来探究“由数思形,以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.
探究一:求不等式
的解集
(1)探究
的几何意义
如图①,在以
为原点的数轴上,设点
对应的数是
,由绝对值的定义可知,点
与点
的距离为
,可记为
.将线段
向右平移1个单位得到线段
,此时点
对应的数是
,点
对应的数是1.因为
,所以
.因此,
的几何意义可以理解为数轴上
所对应的点
与1所对应的点
之间的距离
.
(2)求方程
的解
因为数轴上3和
所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2,所以方程的解为3,
.
(3)求不等式
的解集
因为
表示数轴上
所对应的点与1所对应的点之间的距离,所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数
的范围.
请在图②的数轴上表示
的解集,并写出这个解集.
探究二:探究
的几何意义
(1)探究
的几何意义
如图③,在直角坐标系中,设点
的坐标为
,过
作
轴于
,作
轴于
,则
点坐标为
,
点坐标为
,
,
,在
中,
,则
,因此,
的几何意义可以理解为点
与点
之间的距离
.
(2)探究
的几何意义
如图④,在直角坐标系中,设点
的坐标为
,由探究二(1)可知,
,将线段
先向右平移1个单位,再向上平移5个单位,得到线段
,此时点
的坐标为
,点
的坐标为
,因为
,所以
,因此
的几何意义可以理解为点
与点
之间的距离
.
(3)探究
的几何意义
请仿照探究二(2)的方法,在图⑤中画出图形,并写出探究过程.
(4)
的几何意义可以理解为: .
拓展应用:
(1)
的几何意义可以理解为:点
与点
的距离和点
与点
(填写坐标)的距离之和.
(2)
的最小值为 (直接写出结果)