如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（
，
），与y轴交于C（，
）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP’C，那么是否存在点P，使四边形POP’C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
《淮南子 天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 ，使 ， 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 处的杆的影子的方向取一点 ，使 ， 两点间的距离为10步，在点 处立一根杆．取 的中点 ，那么直线 表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 ， ， 的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作 的中点 （保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线 表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在 中， ， 是 的中点，
（填推理的依据）．
直线 表示的方向为东西方向，
直线 表示的方向为南北方向．
△ABC为等边三角形， ， 于点D，E为线段 上一点， ．以AE为边在直线 右侧构造等边三角形 ，连接 ，N为 的中点．
（1）如图1， 交于点G，连接 ，求线段 的长；
（2）如图2，将 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接 ， ．当 时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在 绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出 的面积．
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