如图，已知三棱锥，为中点，为的中点，且，．（1）求证：；（2

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，已知三棱锥，为中点，为的中点，且，．
（1）求证：；
（2）找出三棱锥中一组面与面垂直的位置关系，并给出证明（只需找到一组即可）

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设函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} - 3 a^{2} x + 1$ $(a, b \in R)$ 在 $x = x_{1}$ ， $x = x_{2}$ 处取得极值，且 $|x_{1} - x_{2}| = 2$ ．
（Ⅰ）若 $a = 1$ ，求 $b$ 的值，并求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若 $a > 0$ ，求 $b$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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在平面直角坐标系 $x o y$ 中，点 $P$ 到两点 $(0, \sqrt{3})$ ， $(0, - \sqrt{3})$ 的距离之和等于4，设点 $P$ 的轨迹为 $C$ ．
（Ⅰ）写出 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设直线 $y = k x - 1$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点． $k$ 为何值时 $\underset{O A}{\to}$ $⊥$ $\underset{O B}{\to}$ ？此时 $|\underset{A B}{\to}|$ 的值是多少？

题型：未知
难度：未知

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数列 $|a_{n}|$ ， $|b_{n}|$ 是各项均为正数的等比数列，设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ．

（Ⅰ）数列 $|c_{n}|$ 是否为等比数列？证明你的结论；

（Ⅱ）设数列 $|\ln a_{n}|, |\ln b_{n}|$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ．若 $a_{1} = 2, \frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{n}{2 n + 1}$ ，求数列 $|c_{n}|$ 的前 $n$ 项和．

题型：未知
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如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A^{`} B^{`} C^{`} {D^{`}}_{}$ 中， $A P = B Q = b (0 < b < 1)$ ，截面 $P Q E F ∥ A^{`} D$ ．

（Ⅰ）证明：平面 $P Q E F$ 和平面 $P Q G H$ 互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面 $P Q E F$ 和截面 $P Q G H$ 面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若 $b = \frac{1}{2}$ ，求 $D^{`} E$ 与平面 $P Q E F$ 所成角的正弦值．

题型：未知
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某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计,最近100周的统计结果如下表所示：

周销售量	2	3	4
频数	20	50	30

（Ⅰ）根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求
（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；
（ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．

题型：未知
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