（本题12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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（本题12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点，将△ACD沿折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A－CD－M的余弦值．

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已知函数 $f (x) = \frac{2}{3} x + \frac{1}{2}, h (x) = \sqrt{x}$ ．

(I)设函数 $F (x) = f (x) - h (x)$ ，求 $F (x)$ 的单调区间与极值；
(Ⅱ)设 $a \in R$ ，解关于 $x$ 的方程 $\log_{4} [\frac{3}{2} f (x - 1) - \frac{3}{4}] = \log_{2} h (a - x) - \log_{2} h (4 - x)$ ；

(Ⅲ)试比较 $f (100) h (100) - \sum_{k = 1}^{100} h (k)$ 与 $\frac{1}{6}$ 的大小.

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椭圆有两顶点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，过其焦点 $F (0, 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $C, D$ 两点，并与 $x$ 轴交于点 $P$ ．直线 $A C$ 与直线 $B D$ 交于点 $Q$ ．

（Ⅰ）当 $|C D| = \frac{3}{2} \sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程；

（Ⅱ）当点 $P$ 异于 $A$ 、 $B$ 两点时，求证： $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{O Q}$ 为定值．

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设 $d$ 为非零实数, $a_{n} = \frac{1}{n} [C_{n}^{1} d + 2 C_{n}^{2} d^{2} + \dots + (n - 1) C_{n}^{n - 1} d^{n - 1} + n C_{n}^{n} d^{n}] (n \in N^{*})$ .

(I) 写出 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 并判断 $\{a_{n}\}$ 是否为等比数列.若是,给出证明；若不是,说明理由；
(II)设 $b_{n} = n d a_{n} (n \in N^{*})$ ,求数列 $\{b n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中． $∠ B A C = 90^{°}$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ． $D$ 是棱 $C C_{1}$ 上的一 $P$ 是 $A D$ 的延长线与的 $A_{1} C_{1}$ 延长线的交点，且 $P B_{1} / /$ 平面 $B D A$ ．
(I)求证： $C D = C_{1} D$ ：
(II)求二面角 $A - A_{1} D - B$ 的平面角的余弦值；
(Ⅲ)求点 $C$ 到平面 $B_{1} D P$ 的距离．

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本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ ；两人租车时间都不会超过四小时.
（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列与数学期望 $E ξ$ .

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