如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中． $\angle BAC={90}^{°}$ ， $AB=AC=A{A}_1=1$ ． $D$ 是棱 $C{C}_1$ 上的一 $P$ 是 $AD$ 的延长线与的 $A_1{C}_1$ 延长线的交点，且 $P{B}_1//$ 平面 $BDA$ ．
(I)求证： $CD=C_{1}D$ ：
(II)求二面角 $A-A_{1}D-B$ 的平面角的余弦值；   
(Ⅲ)求点 $C$ 到平面 $B_{1}DP$ 的距离．