（本小题满分9分）已知：如图，△ABC是等边三角形，过AC边

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更新 2022-09-03
科目数学
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[安徽]2011年安徽省芜湖市九年级模拟试题数学卷

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（本小题满分9分）已知：如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE＝DC，连接AE、BD.
（1）求证：△AGE≌△DAB；
（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数.

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定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为"直角等邻对补"四边形，简称"直等补"四边形．

根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $CD$ 上的点，将 $ΔBCE$ 绕 $B$ 点旋转，使 $BC$ 与 $BA$ 重合，此时点 $E$ 的对应点 $F$ 在 $DA$ 的延长线上，则四边形 $BEDF$ 为"直等补"四边形，为什么？

（2）如图2，已知四边形 $ABCD$ 是"直等补"四边形， $AB = BC = 5$ ， $CD = 1$ ， $AD > AB$ ，点 $B$ 到直线 $AD$ 的距离为 $BE$ ．

①求 $BE$ 的长；

②若 $M$ 、 $N$ 分别是 $AB$ 、 $AD$ 边上的动点，求 $ΔMNC$ 周长的最小值．

题型：未知
难度：未知

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如图，在平面直角坐标系中，点 $F$ 的坐标是 $(4, 2)$ ，点 $P$ 为一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $PH$ ，垂足为 $H$ ，点 $P$ 在运动过程中始终满足 $PF = PH$ ．

【提示：平面直角坐标系内点、的坐标分别为，、，，则】

（1）判断点 $P$ 在运动过程中是否经过点 $C (0, 5)$ ；

（2）设动点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；

$x$	$\dots$	0	2	4	6	8	$\dots$
$y$	$\dots$						$\dots$

（3）点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $C^{'}$ ，点 $P$ 在直线 $C^{'} F$ 的下方时，求线段 $PF$ 长度的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．

（1）求原来生产防护服的工人有多少人？

（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？

题型：未知
难度：未知

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沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形 $ABCD$ ，高 $DH = 12$ 米，斜坡 $CD$ 的坡度 $i = 1 : 1$ ．此处大堤的正上方有高压电线穿过， $PD$ 表示高压线上的点与堤面 $AD$ 的最近距离 $(P$ 、 $D$ 、 $H$ 在同一直线上），在点 $C$ 处测得 $∠ DCP = 26 °$ ．

（1）求斜坡 $CD$ 的坡角 $α$ ；

（2）电力部门要求此处高压线离堤面 $AD$ 的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？

（参考数据： $\sin 26 ° \approx 0.44$ ， $\tan 26 ° \approx 0.49$ ， $\sin 71 ° \approx 0.95$ ， $\tan 71 ° \approx 2.90)$

题型：未知
难度：未知

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为了了解现行简化汉字的笔画画数情况，某同学随机选取语文课本的一篇文章，对其部分文字的笔画数进行统计，结果如下表：

笔画数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
字数	4	8	10	16	14	20	24	36	16	14	11	9	10	7	1

请答案下列问题：

（1）被统计汉字笔画数的众数是多少？

（2）该同学将数据进行整理，按如下方案分组统计，并制作扇形统计图：

分组	笔画数 $x$ （画 $)$	$A$ 字数（个 $)$
$A$ 组	$1 ⩽ x ⩽ 3$	22
$B$ 组	$4 ⩽ x ⩽ 6$	$m$
$C$ 组	$7 ⩽ x ⩽ 9$	76
$D$ 组	$10 ⩽ x ⩽ 12$	$n$
$E$ 组	$13 ⩽ x ⩽ 15$	18

请确定上表中的 $m$ 、 $n$ 的值及扇形统计图中 $B$ 组对应扇形圆心角的度数；

（3）若这篇文章共有3500个汉字，估计笔画数在 $7 ~ 9$ 画 $(C$ 组）的字数有多少个？

题型：未知
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